Semejanza y Congruencia de Triángulos

Semejanza y Congruencia de Triángulos

CONGRUENCIA: Dos figuras son congruentes si tienen los lados iguales y el mismo tamaño, si existe una isometría que los relaciona: una transformación que es de traslaciones, rotaciones y reflexiones. Por así decirlo, dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su posición u orientación sean distintas. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes.

SEMEJANZA: Es la variación en tamaño entre dos objetos o cuerpos pero sus formas son idénticas. Se dice que dos figuras geométricas son semejantes si tienen la misma forma pero sus tamaños son diferentes. Por ejemplo, dos mapas a escalas distintas son semejantes, pues la forma del o los contenidos no cambia, pero si el tamaño.

CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS: NOTACIÓN ( ≡ ) Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida. Dos triángulos son congruentes si tienen iguales: Caso LAL: dos de sus lados respectivos y el ángulo comprendido entre ellos. Caso ALA: dos de sus ángulos respectivos y el lado entre ellos. Caso LLL: los tres lados. Caso LLA: dos de sus lados respectivos y el ángulo opuesto mayor medida que ellos. Caso LAA: uno de los lados, el ángulo opuesto a dicho lado y otro de los ángulos. Caso AAL: dos de sus ángulos respectivos y el lado opuesto a cualquiera de los ángulos.

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS: NOTACIÓN ( ≅ ) 1. Dos triángulos son semejantes, si tienen dos ángulos iguales. 2. Dos triángulos son semejantes, si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo que forman. 3. Dos triángulos son semejantes si sus lados son proporcionales.

Identifica si las parejas de triángulos son Semejantes o Congruentes

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Arrastra cada simbolo a su posición correcta

Teorema de Tales

Éste es el teorema básico de las semejanzas. El Teorema dice: Si dos rectas, no necesariamente paralelas, son cortadas por un sistema de rectas paralelas, entonces los segmentos que resultan sobre una de las dos rectas son proporcionales a los correspondientes segmentos obtenidos sobre la otra.

Gracias al Teorema de Tales, podemos calcular la altura de un objeto, por ejemplo, un árbol, mediante el siguiente mecanismo. Sea C la longitud de la sombra del árbol a una determinada hora. Sea B la longitud de la sombra de un objeto pequeño, por ejemplo un lápiz, en el mismo instante. Sea A la altura del lápiz. Entonces, se cumple que la altura del árbol, llamada H , se obtiene mediante la siguiente igualdad:

Ejemplos del Teorema de Tales

Dada la figura siguiente, decidir si son o no semejantes los segmentos resultantes.

Como observamos en la figura, las longitudes de los segmentos son los siguientes: AB=5, AB=2, BC=10, BC=4. Por el Teorema de Tales, se ve que los segmentos de una recta y otra son semejantes gracias a que las razones son iguales:

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. Es la proposición más conocida entre las que tienen nombre propio en la matemática.

Donde: a y b catetos e hipotenusa h El triángulo es rectángulo porque tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados ó π / 2 radianes. la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. Nota: h siempre es mayor que los dos catetos, es decir, h > a y h > b.

Ejemplos del Teorema de Pitágoras

1. Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo de lados 3cm y 4cm. Solución: Los lados son: Aplicando el Teorema de Pitágoras

2. Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 2cm y uno de sus lados mide 1cm, ¿cuánto mide el otro lado?

Solución: Llamamos a los lados a y b y a la hipotenusa h. Sabemos que Por Pitágoras, sabemos que Sustituyendo los valores conocidos tenemos que Ahora despejamos b en la ecuación