Tema 2 Potencias y Raíces cuadradas

TEMA 2 POTENCIAS Y RAÍCES CUADRADAS

POTENCIAS

UNA POTENCIA ES UNA EXPRESIÓN ABREVIADA DE CUANTAS VECES SE MULTIPLICA UN NÚMERO. LAS POTENCIAS CON EXPONENTE DOS SE DENOMINAN CUADRADOS Y LAS POTENCIAS CON EXPONENTE 3 SE DENOMINAN CUBOS. LA BASE NOS DICE EL NÚMERO QUE VAMOS A MULTIPLICAR Y EL EXPONENTE NOS INDICA LA CANTIDAD DE VECES QUE VAMOS A MULTIPLICARLO. EL ERROR MÁS COMÚN QUE COMETEMOS AL TRABAJAR CON POTENCIAS ES MULTIPLICAR LA BASE POR EL EXPONENTE. POR EJEMPLO, EN LA IMAGEN, LA SOLUCIÓN ES MULTIPLICAR 5 x 5 Y NO MULTIPLICAR 5 x 2. LA POTENCIA DE CUALQUIER NÚMERO DE EXPONENTE UNO ES IGUAL A SU BASE Y LAS POTENCIAS DE EXPONENTE 0 SU RESULTADO SERÁ SIEMPRE 1 (SEA CUAL SEA SU BASE). PARA OBTENER UN PUNTO CLASSDOJO DEBES ANOTAR LA SIGUIENTE PREGUNTA EN TU UNIDAD Y RESPONDERLA:¿CREES QUE SI EN UNA POTENCIA INTERCAMBIAMOS LA BASE Y EL EXPONENTE OBTENEMOS EL MISMO RESULTADO? EXPLICA POR QUÉ Y PON DOS EJEMPLOS.

DESCOMPOSICIÓN DE NÚMEROS CON POTENCIA DE BASE 10

EN EL VÍDEO NOS EXPLICAN CÓMO DESCOMPONER NÚMEROS DE LAS TRES FORMAS QUE ESTAMOS APRENDIENDO EN EL TEMA:

1. DESCOMPOSICIÓN ADITIVA (SE LLAMA ASÍ PORQUE SUMAMOS UNIDADES): DESCOMPONEMOS EN UNIDADES (3 DECENAS DE MILLAR ES IGUAL A 30.000 UNIDADES, 4 CENTENAS ES IGUAL A 400 UNIDADES....)
2. DESCOMPOSICIÓN MULTIPLICATIVA (SUMAMOS LAS MULTIPLICACIONES DE LOS NÚMEROS EN FUNCIÓN DE SU VALOR POSICIONAL): SI TENEMOS 3 DECENAS DE MILLAR MULTIPLICAMOS EL 3 POR LA CANTIDAD DE UNIDADES QUE ES UNA UNIDAD DE MILLAR (10.000). QUEDARÍA 3 X 10.000 +....
3. DESCOMPOSICIÓN CON POTENCIAS DE BASE 10: SUSTITUIMOS LA CANTIDAD DE LAS UNIDADES (10.000 EN EL CASO DEL EJEMPLO QUE ESTAMOS UTILIZANDO) POR UNA POTENCIA CON EL FIN DE NO TENER QUE ESCRIBIR TANTOS NÚMEROS. 3 x 10 ELEVADO A 4.

LAS POTENCIAS DE BASE 10 SON EL RESULTADO DE MULTIPLICAR EL NÚMERO DIEZ TANTAS VECES COMO SEA EL NÚMERO DEL EXPONENTE. EL RESULTADO SERÁ UN 1 SEGUIDO DE TANTOS CEROS COMO EL EXPONENTE. NO DEBERÍAMOS TENER PROBLEMAS EN MULTIPLICAR POR LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROS, PUES CON LOS CONCURSOS QUE HICIMOS EL AÑO PASADO LO TRABAJAMOS MUCHO. VAMOS A INTENTA GANARNOS UN PUNTO CLASSDOJO: A 25/09/2018 LA POBLACIÓN DE ESPAÑA ES DE 45.834.770 HABITANTES. DESCOMPÓN EL NÚMERO DE HABITANTES DE LAS TRES FORMAS APRENDIDAS EN TU UNIDAD. NO OLVIDES UTILIZAR EL BOLÍGRAFO VERDE Y PONERLE UN ENUNCIADO AL EJERCICIO.

RAÍZ CUADRADA

** NOTA** PUEDE QUE EL VÍDEO COMIENCE EMPEZADO POR EL MINUTO 7. PONLO DESDE EL PRINCIPIO VAMOS A TRABAJAR UN CONTENIDO NUEVO QUE NO HEMOS VISTO ANTERIORMENTE, POR LO QUE ES NECESARIO QUE PONGÁIS LA MÁXIMA ATENCIÓN PARA COMPRENDERLO Y PODER APLICARLO. NO VAMOS A APRENDER A HACER UNA RAÍZ CUADRADA, PERO SI DEBEMOS SABER CUALES SON LOS RESULTADOS DE ALGUNAS RAÍCES CUADRADAS EXACTAS. LAS RAÍCES CUADRADAS LAS PODEMOS UTILIZAR POR EJEMPLO EN SITUACIONES EN QUE QUERAMOS DIVIDIR UN CUADRADO (FIGURA GEOMÉTRICA) EN PEQUEÑOS CUADRADOS IGUALES, COMO POR EJEMPLO DIVIDIR EN BALDOSAS UN SUELO. PODEMOS DECIR QUE LA RAÍZ CUADRADA ES EL INVERSO DE EL CUADRADO (POTENCIA) DE UN NÚMERO. EN ESTA IMAGEN VEMOS MÁS CLARAMENTE LA EXPLICACIÓN ANTERIOR. POR EJEMPLO: EL CUADRADO DE DOS, ES DECIR, DOS ELEVADO A DOS ES 4. POR TANTO LA RAÍZ CUADRADA DE CUATRO ES DOS. OTRO EJEMPLO: EL CUADRADO DE 8 ES 64, POR LO QUE LA RAÍZ CUADRADA DE 64 ES 8. EN ESTE TEMA SOLAMENTE VAMOS A VER RAÍCES CUADRADAS EXACTAS, ES DECIR, LA RAÍZ CUADRADA DE 4, 9, 16, 25.... LOS NOMBRES DE LOS TÉRMINOS QUE UTILIZAMOS EN LA RAÍZ CUADRADA SON LOS SIGUIENTES: SI ALGUNO ES CURIOSO, QUE SABÉIS QUE ES UNA CARACTERÍSTICA QUE ME ENCANTA EN UNA PERSONA, VOY A DEJAR UN VÍDEO Y UNA PEQUEÑA EXPLICACIÓN POR PASOS DE COMO SE RESUELVE UNA RAÍZ CUADRADA. ES BASTANTE COMPLEJO, Y DESDE LUEGO NO LO VOY A PEDIR EN EL EXAMEN, PERO SI OS PICA LA CURIOSIDAD Y QUERÉIS INTENTAR RESOLVER RAÍCES MÁS COMPLICADAS AQUÍ LO TENÉIS. PASOS PARA RESOLVER UNA RAÍZ CUADRADA

1. SEPARAMOS LO NÚMEROS DE DOS EN DOS EMPEZANDO POR LA DERECHA (POR LAS UNIDADES).
2. BUSCAMOS UN NÚMERO QUE AL CUADRADO SE ACERQUE A LOS DOS PRIMEROS NÚMEROS DE LA IZQUIERDA SIN PASARSE. EN CASO DEL EJEMPLO ES EL 5, PORQUE SI USAMOS EL 6 NOS DARÍA 36 (6 x 6) Y NOS PASARÍAMOS.
3. COLOCAMOS EL NÚMERO ESCOGIDO (EL 5) EN LA RAÍZ Y RESTAMOS EL CUADRADO DEL NÚMERO ELEGIDO A LOS DOS PRIMEROS NÚMEROS (IGUAL QUE EN LA DIVISIÓN). EN ESTE CASO A 31 QUE SON LOS DOS PRIMEROS NÚMEROS LES RESTAMOS 25 QUE ES EL CUADRADO DE 5. EL RESULTADO (6) LO BAJAMOS.
4. UNA VEZ BAJADO EL RESULTADO DE LA RESTA (6) BAJAMOS LOS DOS NÚMEROS SIGUIENTES (SIEMPRE SE BAJAN LOS NÚMEROS DE DOS EN DOS).
5. A CONTINUACIÓN, EN UN LADO DE LA HOJA FUERA DE LA RAÍZ COLOCAMOS EL DOBLE (NO EL CUADRADO) DEL NÚMERO QUE HEMOS COLOCADO EN LA RAÍZ. EN EL EJEMPLO HEMOS PUESTO EL 5, POR LO QUE SU DOBLE SERÍA 10.
6. A ESE 10 LE PONEMOS UN HUECO JUSTO DETRÁS, EL SIGNO DE MULTIPLICACIÓN, Y OTRO HUECO PORQUE PARA CONSEGUIR EL 2º NÚMERO DE LA RAÍZ DEBEMOS MULTIPLICAR ESE 10 CON UN NÚMERO AÑADIDO DETRÁS POR EL MISMO NÚMERO ELEGIDO PARA AÑADIR Y QUE NO SE PASE DEL RESTO QUE NOS QUEDO BAJO EL RADICANDO (636). (CONCEPTO DIFÍCIL, VEMOS EL EJEMPLO Y LO ENTENDEREMOS MEJOR.

10__ x __ = 101 x 1 = 101 102 x 2 = 204 103 x 3 = 309 104 x 4 = 416 105 x 5 = 525 106 x 6 = 636 107 x 7 = 749 COMO UTILIZANDO EL 7 NOS PASARÍAMOS, COGEMOS EL 6, QUE EN ESTE CASO NOS DARÍA EXACTO CON RESTO CERO.

• PUES EL ÚLTIMO PASO QUE QUEDARÍA SERÍA SUBIR EL 6 A LA RAÍZ PARA OBTENER EL RESULTADO EXACTO QUE SERÍA 56.

SI QUERÉIS PROBAR A HACER RAÍCES CUADRADAS PONED UN NÚMERO DE 3 O CIFRAS COMO RADICANDO Y TRATAD DE RESOLVERLO. ¡LA CURIOSIDAD TIENE PREMIO!

APROXIMACIÓN DE LA RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO

EN EL VÍDEO DEL APARTADO ANTERIOR (RAÍCES CUADRADAS) A PARTIR DEL MINUTO 6:30 NOS INDICA COMO SABER ENTRE QUE DOS NÚMEROS SE ENCUENTRA UNA RAÍZ CUADRADA. PARA HACERLO DE MANERA MÁS SENCILLA NOS SERÁ MUY ÚTIL CONOCER LOS CUADRADOS DE LOS PRIMEROS 12 NÚMEROS. POR EJEMPLO QUIERO CONOCER LA RAÍZ CUADRADA DE 27. NO ES UNA RAÍZ CUADRADA EXACTA POR ESO QUIERO SABER CUALES SERÍAN LOS DOS NÚMEROS QUE MÁS SE APROXIMARÍAN. SABIENDO LOS CUADRADOS DE LOS NÚMEROS, SÉ QUE EL CUADRADO DEL 5 ES IGUAL A 25 Y EL CUADRADO DEL 6 ES IGUAL A 36, ESO QUIERE DECIR QUE EL RESULTADO SE ENCONTRARÍA DELIMITADO ENTRE ESOS DOS NÚMEROS (EL RESULTADO EXACTO SERÍA UN DECIMAL ENTRE 5 Y 6) EXPRESARÍAMOS FINALMENTE EL RESULTADO DE LA SIGUIENTE MANERA: 5< RAÍZ CUADRADA DE 27 <6 Y SE LEERÍA: LA RAÍZ CUADRADA DE 27 ES MAYOR QUE 5 Y MENOR QUE 6. ESTAS APROXIMACIONES SON LAS MISMAS QUE HEMOS REALIZADO NOSOTROS EN ANTERIORES OCASIONES, LA ÚNICA DIFERENCIA ES QUE AHORA AÑADIMOS EL CONCEPTO DE RAÍZ CUADRADA Y LOS NÚMEROS AL CUADRADO. SI TENEMOS QUE APROXIMAR 5,8 A LAS UNIDADES SABEMOS QUE SE APROXIMA A 6. EL NÚMERO 12,7 SE ENCUENTRA ENTRE LOS NÚMEROS 12 Y 13. LA APROXIMACIÓN A LA CENTENA DEL NÚMERO 342 ES 300 (YA QUE SE ENCUENTRA MÁS CERCA DEL 400) POR TODO ESTO ES NECESARIO QUE LOS CONTENIDOS QUE YA HEMOS TRABAJADO LOS TENGAMOS CLAROS, PORQUE NOS VAN A SERVIR PARA APRENDER COSAS NUEVAS EN EL FUTURO Y SEGUIR CRECIENDO. NO ESTUDIAMOS POR APROBAR, ESTUDIAMOS PARA SABER MÁS Y CRECER.

ESTIMAR LA SOLUCIÓN DE UN PROBLEMA

UNA DE LAS DIFICULTADES QUE TENEMOS A LA HORA DE RESOLVER PROBLEMAS ES QUE, POR ERRORES EN LOS CÁLCULOS O EN EL PLANTEAMIENTO DE LA RESOLUCIÓN. EN OCASIONES PONEMOS RESULTADOS ABSURDOS, ES DECIR, UN RESULTADO IMPOSIBLE O MUY ALEJADO DE LA REALIDAD. POR EJEMPLO, TENEMOS QUE DIVIDIR 10:2 Y EL RESULTADO ME DA 20. O SUMO 164+273 Y ME DA 27. SON SITUACIONES QUE SABEMOS QUE NO SON ACERTADAS PORQUE SI SUMAMOS SABEMOS QUE EL RESULTADO TIENE QUE SER MAYOR QUE AMBOS SUMANDOS O SI DIVIDO EL RESULTADO DEBE SER MENOR (PORQUE ESTOY REPARTIENDO) QUE EL DIVIDENDO. PUES BIEN, A PARTIR DE AHORA, ANTES DE RESOLVER UN PROBLEMA, VAMOS A REALIZAR UNA ESTIMACIÓN DEL RESULTADO, ESO QUIERE DECIR QUE VAMOS A HACER UNA APROXIMACIÓN (REDONDEO) DE LOS DATOS DEL PROBLEMA PARA VER APROXIMADAMENTE EL RESULTADO QUE ME VA A DAR. VAMOS A VER UN EJEMPLO: ANA HA RECORRIDO EL CAMINO DE CASA A LA PISCINA 7 VECES ESTA SEMANA. SI LA DISTANCIA ES DE 194 METROS ¿CUÁNTO HA RECORRIDO ENTRE TODOS LOS DÍAS? LA SOLUCIÓN SERÍA EL RESULTADO DE MULTIPLICAR 194 X 7 = 1.358 METROS. PERO ANTES DE ESO, NOSOTROS VAMOS A ESTIMAR (APROXIMAR) EL RESULTADO PARA SABER A QUÉ NÚMERO SE DEBE ACERCAR EL RESULTADO. LO QUE HAGO ES REDONDEAR EL 194 A UN NÚMERO AL QUE ME RESULTE FÁCIL CALCULAR. EN ESTE CASO LO REDONDEO AL 200, ASÍ LA APROXIMACIÓN QUE HAGO ES 7 X 200 = 1.400 METROS. ENTONCES YA SÉ QUE EL RESULTADO TIENE QUE SER UN NÚMERO CERCANO A 1.400, Y QUE NO PUEDE SER 140 PORQUE ME EQUIVOQUÉ AL PONER LOS CEROS O 14.000 PORQUE FALLÉ EN LA ORGANIZACIÓN DE LA MULTIPLICACIÓN Y PUSE UN NÚMERO DE MÁS. ESTIMAR ES MUY ÚTIL SOBRE TODO EN OPERACIONES CON DECIMALES PUES SI TENGO POR EJEMPLO QUE DIVIDIR 120 : 5,8 (EL RESULTADO ES 20,68) HAGO LA APROXIMACIÓN DEL DECIMAL AL 6, DIVIDO 120 : 6 (RESULTADO 20) Y YA SE QUE MI SOLUCIÓN TIENE QUE SER UN NÚMERO APROXIMADO A 20 ( YA SEA 20/19...) Y NO PUEDE SER 2,06 O 206,8 QUE SON ERRORES MUY FRECUENTES. POR TANTO YA SABÉIS, ESTE TEMA, ANTES DE RESOLVER UN PROBLEMA, HACEMOS UNA ESTIMACIÓN PARA SABER POR DONDE VA A ESTAR LA SOLUCIÓN QUE BUSCAMOS. ¡PUNTO CLASSDOJO EN JUEGO! SI CUANDO CORRIJA LAS UNIDADES DIDÁCTICAS DE ESTE TEMA ENCUENTRO QUE TODOS LOS PROBLEMAS REALIZADOS DE LA PÁGINA 38 MÁS LOS PROBLEMAS DE LA PÁGINA DE REPASO TIENEN LAS ESTIMACIONES HECHAS ANTES DE BUSCAR LA SOLUCIÓN GANÁIS UN PUNTO. DAOS PRISA QUE LAS RECOMPENSAS YA SE ESTÁN ACABANDO. ¡¡¡ESTIMAR EN EL EXAMEN TAMBIÉN PUEDE TENER PREMIO!!!

CÁLCULO MENTAL

COMO SIEMPRE OS DIGO, TODO LO QUE VAMOS ESTUDIANDO VA A TENER RELACIÓN CON ALGÚN CONTENIDO DEL FUTURO. PUES BIEN, ESTE CÁLCULO MENTAL ES MUY SIMILAR AL QUE VIMOS EN EL TEMA ANTERIOR, PERO CON LA SUERTE DE QUE ES MUCHO MÁS SENCILLO. VAMOS A APRENDER A CALCULAR DE CABEZA CUADRADOS DE DECENAS. CENTENAS E INCLUSO UNIDADES DE MILLAR EXACTOS DE CABEZA. YA SABÉIS QUE CUANDO MULTIPLIQUEMOS NÚMEROS CON CEROS FINALES, NOS OLVIDAMOS DE ELLOS HASTA EL FINAL DE LA OPERACIÓN QUE SERÁ CUANDO LOS AÑADAMOS Y HACEMOS LA OPERACIÓN CON EL RESTO DE NÚMEROS. POR EJEMPLO SI QUIERO SABER EL CUADRADO DE 400 (400 x 400) MULTIPLICO 4 x 4 QUE ME DA 16 Y DESPUÉS AÑADO LOS CUATRO CEROS QUE DEJÉ APARCADOS ANTERIORMENTE, LO QUE ME DA UN RESULTADO DE 160.000. EL CUADRADO DE 700 SE CALCULA MULTIPLICANDO 7 x 7 Y AÑADIENDO LOS 4 CEROS AL RESULTADO (490.000).