Intervalos e inecuaciones

9) Notación de las inecuaciones

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Intervalos e inecuaciones

Con este material, aprenderemos una nueva forma de representar conjuntos numéricos: los intervalos y las inecuaciones. Realizá las actividades y leé la teoría siguiendo el orden planteado.

¿dónde aparecen?

Realizá las actividades y leé la teoría siguiendo el orden planteado.

2) ¿Qué es un intervalo?

Pensemos en la película del ejemplo anterior. Sólo podríamos verla si hubiéramos cumplido 13 años. Es decir, desde ese momento, en adelante. Como en este gráfico de una recta numérica: Aquí, vemos que lo que está marcado en color, el conjunto de valores incluidos, va desde el 13 inclusive en adelante. Esto también se puede expresar como intervalo: [13 ; +∞) Observaciones: el uso de corchetes [ , ] significa que se está incluyendo al número. Al infinito (+∞ ó - ∞) no se lo incluye, ya que ¡no lo podemos alcanzar! Por eso, usamos paréntesis ( , ) Entonces, ¿qué es un intervalo?Es un conjunto de números reales que están dispuestos en un orden específico y están limitados por dos valores, llamados extremos. O bien por un valor y el infinito, como en el ejemplo anterior. Estos extremos pueden ser inclusivos o exclusivos, lo que significa que pueden o no incluirse en el conjunto.

3) ¿Qué es una inecuación?

Continuando con el ejemplo anterior, también podríamos representar esa situación con una inecuación: una desigualdad en la que intervienen expresiones con variables. Si llamamos “x” a la edad de las personas que pueden ver la película, entonces esa edad tendría que ser mayor ó igual que 13 años. Si expresamos esta situación como una inecuación: x ≥ 13 Observación: “≥” significa “mayor ó igual que” Hacé clic en el símbolo "+" para más información.

4) Juego

Retomemos el ejemplo del juego, que está recomendado para niños de entre 9 y 12 años de edad inclusive. En este caso, tenemos dos condiciones, que podemos expresar como inecuaciones:

• x ≥ 9 (niños mayores de 9 años inclusive)
• x ≤ 12 (niños menores de 12 años inclusive)

En la siguiente actividad, vamos a representar ambas condiciones en un mismo gráfico, de manera que podamos ver dónde se cumplen ambas condiciones. Hacé clic en el símbolo "+" para más información.

5) Representando intervalos...

Usando esta actividad, o ingresando a este link, escribí las inecuaciones que representan al juego de la actividad anterior: x ≥ 9 (niños mayores de 9 años inclusive) x ≤ 12 (niños menores de 12 años inclusive Si escribís “>”, y después “=“, automáticamente aparecerá “≥”. Podés hacer zoom para visualizar mejor el gráfico.

• Realizá una captura de pantalla del gráfico, que te resultará útil para las siguientes actividades.
• ¿Qué números quedaron marcados de cada color?
• ¿Cómo quedaron marcados los números entre 9 y 12? ¿Por qué?

6) Para pensar...

Hacé clic en el símbolo "+" para más información.1)¿En qué intervalo quedan comprendidas las edades de los niños que pueden jugar a este juego?2)¿Sería posible expresar esta situación como una única inecuación? Si es así, ¿cómo lo harías?3)Si ahora el juego sólo es posible para niños mayores de 9 años, sin incluir a los que tienen esa edad. ¿Cómo sería el gráfico? ¿Y el intervalo?IMPORTANTE: cuando un valor no es incluido en un intervalo, usamos paréntesis: ( , ). 4)Si sólo pudieran jugarlo niños menores de 9 años y mayores a 12, ¿tendría sentido? ¿sería posible expresarlo como un único intervalo? ¿Por qué? Graficá la situación:

7) ¡A graficar!

Usando la actividad que está abajo, o con el link, graficá los siguientes conjuntos (por separado), escribiendo las inecuaciones en los renglones. Después, si es posible, expresá el conjunto donde se cumplan todas las condiciones como un único intervalo. A) X > -1 B) X ≤ 3 C) X > 1 y X < 4 D) X ≥ -2 y X < 0 E) X < 1 y X > 3 Expresá como inecuación y graficá estos conjuntos numéricos: F) Números reales en el intervalo (-2 ; 3) G) Números reales en el intervalo [5 ; +∞) H) Números naturales en el intervalo (1 ; 6)

8) Intervalos y semirrectas

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1) Ejemplos

• Una película está catalogada como “No apta para espectadores menores de 13 años de edad”

• Un juego está recomendado para niños de entre 9 y 12 años de edad inclusive.
• Para aprobar una materia, la calificación tendrá que ser mayor o igual a 6.
• Si se compran 3 o más productos, un negocio de ropa realiza un descuento.

En todos estos casos, tenemos una o más condiciones, que posibilitan la realización de una actividad, o acceder a un descuento. En las siguientes actividades, veremos cómo representamos estas situaciones matemáticamente.

Autor: Gabriel Altmark

¿Se te ocurre algún otro ejemplo?

En resumen... Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas de una o varias incógnitas, que solo se verifica para ciertos valores de esas incógnitas; se expresa con los signos >, <, ≥ y ≤. Por ejemplo, la inecuación x > 3 se lee "números mayores que 3" Se verifica para x = 5, pero no se verifica para x = 2.

Condiciones: son "restricciones" que tenemos en ciertas situaciones. Por ejemplo: ¿Cuál sería la inecuación en este caso?

Desmos Para graficar las inecuaciones, estamos usando una calculadora gráfica: Desmos.

Estos conjuntos se grafican en una recta numérica.

• Semirrecta

Una semirrecta se define como un subconjunto de puntos de una recta, también infinito (y alineado en una misma dirección), del cual se conoce un primer punto considerado su inicio u origen y a partir del cual, la sucesión de puntos es infinita en el sentido indicado. Por este motivo, y como parte de una definición menos académica pero muy clara, se suele decir que una semirrecta siempre “tiene principio pero no tiene fin”.

En un gráfico, podés representar los valores incluidos con un punto ●, o un corchete [ ]. Los valores que no están incluidos podés representarlos con un punto vacío ◦, o paréntesis ( ).

¿Se te ocurre algún otro ejemplo?

Cuando, en un intervalo, se incluye un valor, se lo representa con un corchete [ ] Cuando no se lo incluye, se lo representa con paréntesis ( ) Por ejemplo: *Números que están entre -2 y 4, se representan así: (-2 ; 4). Esta situación, como inecuación, sería: -2 < x < 4 *Números que están entre 1 y 7 inclusive, se representan así: (1 ; 7] La inecuación sería 1 < x ≤ 7 *Números que están entre -3 inclusive y 12 inclusive, se representan así: [-3 ; 12] La inecuación sería -3≤ x ≤ 12

Si tenés dudas, podés consultar la teoría que está en los botones con el símbolo "+". 5) Representando intervalos... Los números mayores ó iguales a 9 quedaron marcados de color naranja. Los números menores ó iguales a 12 quedaron marcados de color rojo. Los números en el intervalo [9 ; 12] quedaron con los colores "mezclados". Esto se debe a que cumplen ambas condiciones. 6) Para pensar... 1) Están comprendidas en el intervalo [9 ; 12] 2) Podríamos expresarla así: 9 ≤ x ≤ 12 3) El intervalo sería (9 ; 12]. El gráfico sería: Notar que sobre el 9 la línea está punteada. 4) No sería posible: no existen números que cumplan ambas condiciones, ya que es contradictorio que un número sea menor que 9 y mayor que 12 a la vez. 7) ¡A graficar! A) (-1 ; +∞ ) B) (-∞ ; 3] C) (1 ; 4) D) [-2 ; 0] E) No es posible expresarlo como un único intervalo. F) -2 < x < 3 G) x ≥ 5 H) 1 < n < 6 Notemos que en este caso, como los números son naturales, no marcamos un segmento ni una recta, sino solamente los valores como puntos, ya que los que están "en el medio" (por ejemplo, entre 1 y 2) son racionales, pero no son naturales. Es costumbre utilizar la letra n para referirse a inecuaciones con números naturales.