ECUACIONES_MAT2ESO

MATEMÁTICAS 2º ESO

ECUACIONES

CON DENOMINADORES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SIN SOLUCIÓN

CON PARÉNTESIS

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO PARTICULARES

INTRODUCCION A LAS ECUACIONES

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO SENCILLAS

1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES

Las ecuaciones sirven para resolver problemas de la vida cotidiana en los que faltan datos que llamamos "incógnitas".

¿Para qué sirven las ecuaciones?

Las ecuaciones están formadas por un signo de IGUAL y una EXPRESIÓN ALGEBRAICA a cada lado.

¿De qué están formadas las ecuaciones?

3x + 5 = 2x + 6

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

¿Cuál es el objetivo de las ecuaciones?

El objetivo de las ecuaciones es calcular el valor de la variable (letra) que no conocemos y que llamamos INCÓGNITA.

Una ecuación de primer grado es aquella en que el grado mayor de las variables (letras) que en ella aparecen es 1. Como las siguientes: 2x + 1 = x + 2 3x + 2x + 5 = 6x + 30 5x - 15 = -3 + 10x

¿Qué es una ecuación de primer grado?

2 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO SENCILLAS

Resolver una ecuación significa CALCULAR EL VALOR DE LA INCÓGNITA (x) que hace que se cumpla la igualdad (es decir, que el valor a ambos lados del igual sea el mismo cuando sustituimos "x" por su valor calculado).

PASOS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

Vamos a aprender a resolver una ecuación calculando el valor de la "x" en la ecuación: 4x - 5 = 2x + 25

¿CÓMO?

TRANSPOSICIÓN DE TÉRMINOS

4x - 5 = 2x + 254x - 2x = 25 + 5

Dejamos todos los términos que tengan "x" a la izquierda del igual y todos los que no tengan "x" a la derecha.

Los términos que están sumando pasan restando al otro lado y al revés

Pasa el ratón por encima de las ecuaciones para obtener más información.

AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

¿CÓMO?

4x - 2x = 25 + 5 2x = 30

Realizamos las operaciones necesarias para dejar solo un término a la izquierda del igual y otro a la derecha.

Realizamos las operaciones de suma y resta según los signos de cada término.

¿CÓMO?

DESPEJAMOS LA INCÓGNITA

2x = 30 x = 30/2 x = 15 es la solución de la ecuación

Los números que están multiplicando en un lado, pasan al otro dividiendo y al revés.

Calculamos el valor de "x" que haría cumplirse la igualdad de la ecuación

2 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO SENCILLAS

VÍDEOTUTORIALES DE AYUDA

En este vídeo puedes ver un ejemplo de cómo se resuelve una ecuación siguiendo los pasos aprendidos en la diapositiva anterior:1. Transposición de términos. 2. Agrupación (reducción) de términos semejantes. 3. Despejar la incógnita.

2.1 COMPROBACIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Comprobar una ecuación sirve para saber si hemos calculado bien la solución. Las ecuaciones son igualdades, de modo que si sustituimos el valor calculado de la "x" en la expresión inicial, el valor numérico a la izquierda del igual tiene que ser el mismo que el valor numérico a la derecha del igual.

PASOS PARA COMPROBAR UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

5x + 6x = 44 - 11

5x + 11 = -6x + 44

1. RESOLVEMOS LA ECUACIÓN

Para ello, seguimos los pasos que ya conocemos...

11x = 33

x = 3

2. SUSTITUIMOS EL VALOR DE X

5x + 11 = -6x + 44

5 · 3 + 11 = -6 · 3 + 44

(x = 3)

Es decir, calculamos el valor numérico de las expresiones a ambos lados del igual, sustituyendo el valor de "x" por la solución calculada...

15 + 11 = -18 + 44

26 = 26

3. COMPROBAMOS

Vemos que, al sustituir x = 3 en la ecuación y resolver las operaciones, nos queda 26 a ambos lados del igual. Eso quiere decir que ¡hemos resuelto bien la ecuación!. Si nos diese algo distinto... tendríamos que revisarla.

Si el valor numérico a la izquierda del igual es el mismo que a la derecha... ¡la ecuación queda comprobada!

3 ECUACIONES CON PARÉNTESIS

En muchas ocasiones nos podemos encontrar paréntesis a la hora de resolver ecuaciones de primer grado. Al igual que hacíamos en las operaciones combinadas, aplicamos la propiedad distributiva para poder quitar el paréntesis antes de realizar los pasos normales para resolver una ecuación.

PASOS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN CON PARÉNTESIS

2·x + 2·5 = -3·2x -3·18

1. QUITAMOS LOS PARÉNTESIS

2(x + 5) = -3(2x + 18)

Pero... ¡cuidado! no se pueden quitar de cualquier manera, hay que aplicar la propiedad distributiva como vemos en el ejemplo.

Para quitar un paréntesis, multiplicamos todo lo que hay en el paréntesis por el número (y su signo) que hay delante.

2x + 10 = -6x - 54

2·x + 2·5 = -3·2x -3·18

2. REALIZAMOS LAS OPERACIONES

Como vemos en el ejemplo, una vez realizadas las multiplicaciones para quitar paréntesis, nos queda una ecuación muy sencilla de resolver.

Realizamos todas las operaciones que nos han quedado planteadas en el paso anterior, para simplificar la ecuación.

3. RESOLVEMOS LA ECUACIÓN

2x + 6x = -10 - 54

2x + 10 = -6x - 54

Como ya hemos quitado los paréntesis, ahora resolvemos la ecuación como sabemos.

8x = -64

x = -64/8 x = -8

3.1 CASOS "COMPLICADOS" A LA HORA DE RESOLVER ECUACIONES CON PARÉNTESIS

La mayor complicación a la hora de quitar paréntesis es que nos encontremos signos negativos delante del mismo. Para ello, hay que tener en cuenta que además de multiplicar por el número, hay que cambiar de signo todo lo que hay dentro.

¿CUÁL SON LOS CASOS MÁS COMPLICADOS QUE NOS PODEMOS ENCONTRAR?

¿CÓMO?

Ejemplo 1: -3(x + 5) -> -3·x - 3·5 -> -3x - 15

TENEMOS UN NÚMERO NEGATIVO MULTIPLICANDO AL PARÉNTESIS

Multiplicamos todo lo que hay en el paréntesis por el número y cambiamos todo de signo.

Ejemplo 2: -2(-2x + 3) -> -2·(-2x) - 2·3 -> 4x - 6

Ejemplo 3: -3(-2x - 6) -> -3·(-2x) - 3·(-6) -> 6x + 18

¿CÓMO?

Ejemplo 1: -(x + 5) = -x - 5

SÓLO TENEMOS UN SIGNO MENOS DELANTE DEL PARÉNTESIS

Cuando esto ocurre, solamente cambiamos de signo todo lo que hay dentro del paréntesis.

Ejemplo 2: -(-3x - 3) = 3x + 3

4 ECUACIONES CON DENOMINADORES

ES MUY COMÚN ENCONTRARNOS FRACCIONES EN LAS ECUACIONES. PARA QUITAR LAS FRACCIONES Y PODER RESOLVERLAS COMO UNA ECUACIÓN NORMAL, ECHA UN VISTAZO A LO QUE VIENE A CONTINUACIÓN.

¿CÓMO PODEMOS RESOLVER ESTA ECUACIÓN CON FRACCIONES?

Pulsa aquí si no recuerdascómo se calcula el m.c.m.

1. Primero de todo, calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores de la ecuación.

m.c.m. (2, 3) = 6

2. Multiplicamos cada término de la ecuación por el mínimo común múltiplo.

3. Calculamos las divisiones para simplificarla ecuación.

4. Realizamos las operaciones necesarias paraseguir simplificando.

En el reto R18 terminarás de resolver esta ecuación

5. Quitamos paréntesis y resolvemos la ecuacióncomo ya sabemos.

5 ECUACIONES SIN SOLUCIÓN

LAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO TIENEN, POR LO GENERAL, UNA ÚNICA SOLUCIÓN. PERO PUEDE DARSE EL CASO DE QUE NO TENGAN NINGUNA, ES DECIR, QUE NO HAYA NINGÚN VALOR DE "x" QUE HAGA QUE LA IGUALDAD SE CUMPLA.

¿CÓMO PODEMOS SABER SI UNA ECUACIÓN NO TIENE SOLUCIÓN?

1. RESOLVEMOS LA ECUACIÓN SIGUIENDO LOS PASOS HABITUALES:

x - 3 = 2 + x

Ecuación

x - x = 2 + 3

Solución

0 = 5

2. COMPROBAMOS SI EL RESULTADO OBTENIDO ES POSIBLE. En este caso, ¿es posible que 0 sea igual a 5? Como vemos, es una incongruencia, algo que es matemáticamente imposible. Por tanto, podemos decir que esta ecuación no tiene solución.

RETOS DE REPASO

R27

Comprueba si las siguientes ecuaciones tienen solución:a) 4x + 5 = 2x - 5 + 2x b) 4x + 6 = 2x + x -10 c) x + 2x - 5 + x = x + 3x - 15

FÁCIL

5p

Resuelve la siguientes ecuaciones con denominadores: a) b) c)

R28

INTERMEDIO

10p

6 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES

Las ecuaciones de primer grado son muy útiles para resolver problemas de la vida diaria en los que hay una incógnita (un valor que desconocemos). Vamos a ver cómo se resuelven con un sencillo ejemplo.

PASOS PARA RESOLVER UN PROBLEMA APLICANDO UNA ECUACIÓN

Sabemos que la suma de un número más su consecutivo (el siguiente) es 15, ¿cuánto valdrán esos números? Resuélvelo utilizando una ecuación de primer grado.

PRIMER NÚMERO x

1. DEFINIMOS LA INCÓGNITA

Como tenemos que usar una ecuación de primer grado, solo podemos usar una incógnita. Entonces, al primer número le llamamos "x". Al consecutivo, entonces, le llamaremos "x + 1"

NÚMERO CONSECUTIVO (x + 1)

2. PLANTEAMOS LA ECUACIÓN

x + (x + 1) = 15

ECUACIÓN

El enunciado nos dice que los dos números (el que buscamos y su consecutivo) suman 15. Tenemos entonces todos los datos que necesitamos para plantear la ecuación.

Los números que buscamos son 7 y 8.

x + (x + 1) = 15 2x = 14 x = 7

3. RESOLVEMOS LA ECUACIÓN

Resolviendo la ecuación nos dará el valor de la incógnita que buscamos y, por consiguiente, el resultado del problema.

6.1 EJEMPLOS RESUELTOS DE PROBLEMAS CON ECUACIONES

Antes de ponerte a hacer problemas, echa un vistazo a estos dos problemas resueltos para terminar de entender cómo se plantean los problemas que se resuelven con ecuaciones de primer grado. Antes de ver la solución, trata de pensar mentalmente cómo se resolverían.

PROBLEMA 2

PROBLEMA 1

Si a un número le sumas su doble, la mitad y 15, se obtiene 99, ¿cuál es ese número?

El doble de un número más 5 es 35, ¿cuánto vale ese número?

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN

6.2 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES

VÍDEOTUTORIALES DE AYUDA

En este vídeo puedes ver a un profesor explicando cómo resolver problemas planteando ecuaciones de primer grado, mediante dos ejemplos de problemas muy típicos.

7 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

¿Te imaginas poder resolver ecuaciones con dos incógnitas, "x" e "y"? Pues es posible, gracias a los SISTEMAS DE ECUACIONES.

¿QUÉ ES UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS?

ES UN CONJUNTO DE DOS ECUACIONES, CON DOS INCÓNGITAS DISTINTAS (NORMALMENTE LAS LLAMAMOS "x" e "y") QUE SIRVE PARA CONOCER EL VALOR NUMÉRICO DE ESAS DOS INCÓGNITAS.

¿CÓMO SON LOS SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS?

3x + 2y = 74x - 3y = -2

Primera ecuación

Este sistema tiene 2 incógnitas, "x" e "y"

Segunda ecuación

7.1 CÓMO RESOLVER SISTEMAS POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

El método de sustitución es uno de los métodos más sencillos para resolver sistemas. Presta atención al siguiente ejemplo y lo entenderás muy fácilmente.

Queremos resolver el siguiente sistema:

3x + 2y = 74x - 3y = -2

1. Primer paso: despejamos la "x" en la primera ecuación

Observa que te queda una fracción, ya que el 3 pasa al otro lado dividiendo.

2. Segundo paso: sustituimos la "x" de la segunda ecuación por el valor despejado de la primera.

Fíjate bien que, donde antes ponía "x" en la segunda ecuación, ahora lo cambiamos por la expresión despejada arriba.

3. Tercer paso: resolvemos la segunda ecuación.

4. Cuarto paso: sustituimos el valor de "y" en la primera ecuación y despejamos la "x"

7.2 CÓMO RESOLVER SISTEMAS POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN

El método de igualación puede ser ventajoso en algunas ocasiones. Vamos a ver cómo se resolvería utilizando el mismo ejemplo que usamos por el método de sustitución.

Queremos resolver el siguiente sistema:

3x + 2y = 74x - 3y = -2

1. Primer paso: despejamos la misma incógnita en ambas ecuaciones, por ejemplo la "x"

2. Segundo paso: igualamos las dos expresiones anteriores, eliminando la "x"

3. Tercer paso: resolvemos la ecuación que se nos ha planteado al igualar.

4. Cuarto paso: sustituimos el valor de "y" en la primera ecuación y despejamos la "x"

CHECKPOINT 3

Si quieres liberar a Will y conseguir el checkpoint 3, primero tienes que derrotar al Demogorgon! Tiene 3 puntos de vida que solo se le pueden quitar con golpes de ataque. Necesitas 3 para derrotarlo por completo. Pulsa en estos enlaces si quieres saber cómo obtener golpes de ataque para derrotar al Demogorgon.