TEMA 3: LOGARITMOS

MATEMÁTICAS

Tema 3: LOGARITMOS

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CONTENIDOS Y ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE

Puedes ver el estándar de aprendizaje asociado a cada contenido (según decreto 48/2015) pinchando sobre el símbolo

A lo largo de este tema, el alumno aprenderá: - LA DEFINICIÓN DE LOGARITMO. - A CALCULAR LOGARITMOS SENCILLOS EN BASE 2 Y BASE 10 A PARTIR DE SU DEFINICIÓN. - A IDENTIFICAR Y ENTENDER LAS PRINCIPALES PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS. - A UTILIZAR LAS PROPIEDADES PARA EL CÁLCULO DE LOGARITMOS SENCILLOS. - A RESOLVER PROBLEMAS SENCILLOS UTILIZANDO LOGARITMOS.

ÍNDICE

4. CÁLCULO DE LOGARITMOS UTILIZANDO SUS PROPIEDADES

1. DEFINICIÓN DE LOGARITMO

5. PROBLEMAS CON LOGARITMOS

2. CÁLCULO DE LOGARITMOS SENCILLOS

3. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

PROFESOR: MOISÉS LLORENTE

ASIGNATURA: MATEMÁTICAS

RETO PORTAFOLIO (PREGUNTAS INICIALES)

Antes de comenzar el tema, contesta en tu portafolio a las siguientes preguntas. NO OLVIDES COPIAR LOS ENUNCIADOS Y PONER UNA DIAPOSITIVA CON EL TÍTULO DEL TEMA QUE ESTAMOS EMPEZANDO. PREGUNTA 1: ¿A QUÉ NÚMERO HAY QUE ELEVAR 2 PARA QUE TE DÉ COMO RESULTADO 8? PREGUNTA 2: ¿A QUÉ NÚMERO HAY QUE ELEVAR 2 PARA QUE TE DÉ COMO RESULTADO 16? PREGUNTA 3: ¿A QUÉ NUMERO HAY QUE ELEVAR 10 PARA QUE TE DÉ COMO RESULTADO 100? PREGUNTA 4: ¿A QUÉ NÚMERO HAY QUE ELEVAR 10 PARA QUE TE DÉ COMO RESULTADO 1000?

R15p por pregunta

1. DEFINICIÓN DE LOGARITMO

Si has hecho el reto anterior (RETO del portafolio) ya habrás calculado logaritmos sin darte cuenta. Por que un logaritmo no es ni mas ni menos que lo siguiente:

Explicado en palabras sencillas, el logaritmo en base "b" de un número "a" es "c" porque "b" elevado a "c" es "a". Y en palabras todavía más sencillas, con un ejemplo: el logaritmo en base "2" de "8" es "3" porque "2" elevado a "3" es "8".

1. DEFINICIÓN DE LOGARITMO (continuación)

Un logaritmo puede tener CUALQUIER BASE, pero la base 2 y la base 10 son las más comunes.

Aquí puedes ver los primeros primeros logaritmos en base 2 y base 10, los más sencillos:

RETO PORTAFOLIO (PREGUNTAS DE REFLEXIÓN)

RESPONDE, EN TU PORTAFOLIO DIGITAL, A LAS SIGUIENTES PREGUNTAS. NO OLVIDES COPIAR LOS ENUNCIADOS ANTES DE RESPONDER. PREGUNTA 1: ¿QUÉ ES UN LOGARITMO? PREGUNTA 2: LA BASE DE UN LOGARITMO, ¿QUÉ NÚMERO PUEDE SER? PREGUNTA 3: ¿CÓMO CALCULARÍAS EL LOGARITMO EN BASE 4 DE 256? EXPLÍCALO CON PALABRAS.

R55p por pregunta

RETO PORTAFOLIO (PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN)

VAS A REALIZAR UNA PEQUEÑA INVESTIGACIÓN SOBRE LAS ESCALAS LOGARÍTMICAS. LOS RESULTADOS DE LA INVESTIGACIÓN DEBERÁN APARECER EN TU PORTAFOLIO DIGITAL, CON EL TÍTULO "ESCALA LOGARÍTMICA". EN ESTE ENLACE APARECE UNA IMAGEN DE UNA ESCALA LOGARÍTMICA. RESPONDE A LAS SIGUIENTES PREGUNTAS: 1. ¿QUÉ TIENE DE RARO O ESPECIAL ESTA ESCALA? 2. ¿QUÉ ES UNA ESCALA LOGARÍTMICA? 3. ¿PARA QUÉ SIRVE UNA ESCALA LOGARÍTMICA? ¿CUÁNDO SE UTILIZAN? 4. ¿QUÉ DIFERENCIA HAY ENTRE UNA ESCALA LOGARÍTMICA Y UNA LINEAL? 5. BUSCA DOS EJEMPLOS (IMÁGENES) DE GRÁFICAS REPRESENTADAS CON ESCALAS LOGARÍTMICAS. ¿ESTÁ JUSTIFICADO SU USO? COMÉNTALAS BREVEMENTE.

R65p por pregunta

RETOS

Calcula los siguientes logaritmos:

R75p

¿Qué diferencia hay entre una razón y una proporción? Para los cinco ejemplos de magnitudes anteriores, rellena una tabla con sus posibles valores y su relación numérica. Puedes inventar los valores, calcula la razón existente entre ellas y asegúrate de que forman una proporción.

¿En qué base....a) ... el logaritmo de 16 es 4? b) ... el logaritmo de 1000 es 3? c) ... el logaritmo de 343 es 3? d) ... el logaritmo de (1/16) es 2? e) ... el logaritmo de (27/8) es 3?

R810p

R915p

RETO PORTAFOLIO (TRABAJO DE INVESTIGACIÓN)

INVESTIGA LA RESPUESTA PARA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS. PUEDES UTILIZAR INTERNET O CUALQUIER LIBRO DE MATEMÁTICAS. PREGUNTA 1: ¿EXISTE EL LOGARITMO DE CERO? ¿POR QUÉ? PREGUNTA 2: ¿EXISTE EL LOGARITMO DE NÚMEROS NEGATIVOS? ¿POR QUÉ? PREGUNTA 3: SI CALCULAS EL LOGARITMO DE LA BASE, ¿CUÁL SERÍA EL RESULTADO? PREGUNTA 4: SI EL LOGARITMO EN BASE a DE X ES IGUAL AL LOGARITMO EN BASE a DE Y, ¿CÓMO SERÍAN X e Y? PREGUNTA 5: INVESTIGA LAS SIGUIENTES PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS: - Logaritmo de un producto. - Logaritmo de un cociente. - Logaritmo de una potencia. - Logaritmo de un radical.

R925 puntos

3. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

Las propiedades de los logaritmos sirven para facilitar los cálculos logarítmicos. Son de gran utilidad, sobre todo, las cuatro que se explican a continuación:

2. Logaritmo de un cociente: es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

1. Logaritmo de un producto: es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

3. Logaritmo de una potencia: es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia.

4. Logaritmo de un radical: es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raiz.

3. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS (CONTINUACIÓN)

LAS PROPIEDADES VISTAS EN LA PÁGINA ANTERIOR NOS PUEDEN SERVIR, POR EJEMPLO, PARA EXPRESAR UN LOGARITMO COMPLICADO EN FUNCIÓN DE LOGARITMOS MÁS SENCILLOS. MIRA ESTOS EJEMPLOS Y ENTENDERÁS POR QUÉ...

EJEMPLO 1

EJEMPLO 2

RETOS (EN EL CUADERNO)

Desarrolla los siguientes logaritmos utilizando la propiedad del logaritmo del producto:

R105p

¿Qué diferencia hay entre una razón y una proporción? Para los cinco ejemplos de magnitudes anteriores, rellena una tabla con sus posibles valores y su relación numérica. Puedes inventar los valores, calcula la razón existente entre ellas y asegúrate de que forman una proporción.

Simplifica los siguientes logaritmos, reduciéndoles a la expresión más sencilla posible:

R1110p

Expresa los siguientes logaritmos como logaritmos de un producto o un cociente, según corresponda:

R1215p

RETOS (EN EL CUADERNO)

Desarrolla los siguientes logaritmos utilizando la propiedad del logaritmo de una potencia:

R135p

¿Qué diferencia hay entre una razón y una proporción? Para los cinco ejemplos de magnitudes anteriores, rellena una tabla con sus posibles valores y su relación numérica. Puedes inventar los valores, calcula la razón existente entre ellas y asegúrate de que forman una proporción.

Desarrolla los siguientes logaritmos utilizando la propiedad del logaritmo de un radical:

R1410p

Echa un vistazo a la expresión del ejemplo 2 de la diapostiva "3. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS (CONTINUACIÓN". ¿Se podría simplificar más esa expresión? Inténtalo aplicando las propiedades de los logaritmos que has aprendido.

R1515p

4. Cambio de base

Como hemos visto, hay logaritmos más sencillos de resolver, especialmente el logaritmo en base 2 y base 10

Un buen método para poder resolver otros logaritmos más complicados es utilizar un cambio de base, para ello se utiliza la siguiente fórmula:

RETOS (PORTAFOLIO)

Sustituyendo en la fómula de cambio de base las letras por números:

R165p

Pon un ejemplo de cambio de base utilizando logaritmos en base 2

R1710p

Pon un ejemplo de cambio de base utilizando logaritmos en base 10

Demuestra que la fórmula de cambio de base se cumple, anótalo de forma escrita

R1815p

RETOS (EN EL CUADERNO)

Utiliza el cambio de base para calcular los siguientes logaritmos (ahora en base 10):

R195p

Resuelve los siguientes logaritmos sabiendo que log 2=0,301 y el log 3=0,477

¿Qué diferencia hay entre una razón y una proporción? Para los cinco ejemplos de magnitudes anteriores, rellena una tabla con sus posibles valores y su relación numérica. Puedes inventar los valores, calcula la razón existente entre ellas y asegúrate de que forman una proporción.

R2010p

Calcula las siguientes operaciones:

R2115p

RETO PORTAFOLIO (TRABAJO DE INVESTIGACIÓN)

INVESTIGA LA RESPUESTA PARA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS. PUEDES UTILIZAR INTERNET O CUALQUIER LIBRO DE MATEMÁTICAS. CONTESTA DE FORMA ESCRITA. Busca como se resuelven en la calculadora los logaritmos decimales PREGUNTA 1: ¿RESUELVE LOS SIGUIENTES LOGARITMOS? a) log 2 b) log 3 c) log 5 d)log 175 e) log 0 Busca como se realizan otros logaritmos en tu calculadora que no sean los decimales PREGUNTA 2: ¿RESUELVE LOS SIGUIENTES LOGARITMOS? Existen otros logaritmos que también se utilizan muy a menudo que son los logaritmos neperianos. PREGUNTA 3: ¿QUÉ NÚMERO UTILIZAN COMO BASE? ¿RESUELVE LOS SIGUIENTES LOGARITMOS? a) ln2 b) ln 3 c) ln 5 d)ln 175 e) ln 2,72 f)ln e

R2325 puntos

RETOS DE REPASO (EN EL CUADERNO)

Expresar los siguientes logaritmos en función del logaritmo de 2 y de 3. Comprobar con la calculadora:a) log 25 c) log 30 e) log 0,72 b) log 4/3 d) log 3,6 f) log 90

R245p

Utilizando la siguiente imagen a) Expresa A como potencia de base 2 b) Halla el logaritmo en base 2 c) Demuestra que es lo mismo que C

¿Qué diferencia hay entre una razón y una proporción? Para los cinco ejemplos de magnitudes anteriores, rellena una tabla con sus posibles valores y su relación numérica. Puedes inventar los valores, calcula la razón existente entre ellas y asegúrate de que forman una proporción.

R2510p

Resuelve las siguientes expresiones, sabiendo que el resultado es un número natural.

Resuelve las siguientes expresiones:

R2615p

PROBLEMAS

EJEMPLO: La tasa de crecimiento de un bosque viene dada por esta expresión:

Los problemas con logaritmos suelen ser expresiones siempre con potencias, en donde la incognita se encuentra en la potencia y se utilizan los logaritmos para poder despejar la incognita

Calcula el tiempo que tengo que tener invertido 2500 € al 6% de interés compuesto si quiero obtener 1977,12 € de beneficio.

Resuelve las siguientes expresiones:

R2715p

Fórmula interés compuesto

MATEMÁTICAS

Tema 4: POLINOMIOS

EMPEZAR

CONTENIDOS Y ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE

Puedes ver el estándar de aprendizaje asociado a cada contenido (según decreto 48/2015) pinchando sobre el símbolo

A lo largo de este tema, el alumno aprenderá: - LA FORMA CORRECTA DE EXPRESA DE FORMA ALGEBRAICA - A FACTORIZAR UN POLINOMIO UTILIZANDO LA REGLA DE RUFFINI - A REALIZAR OPERACIONES CON POLINOMIOS Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS SENCILLAS - LAS IGUALDADES NOTABLES Y A OPERAR CON ELLAS - A RESOLVER ECUACIONES DE GRADO MAYOR QUE 2

ÍNDICE

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

4. FRACCIONES ALGEBRAICAS

2. FACTORIZAR POLINOMIOS. REGLA DE RUFFINI

5. ECUACIONES DE GRADO 3, 4, ...

3. IGUALDADES NOTABLES

PROFESOR: MOISÉS LLORENTE

ASIGNATURA: MATEMÁTICAS

RETO PORTAFOLIO (PREGUNTAS INICIALES)

Antes de comenzar el tema, realiza un ejercicio para ver como te manejas con las expresiones algebraicas. Pincha sobre el enlace de EJERCICIOS INTERACTIVOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS y realiza los ejercicios que te propone.a) Añade un pantallazo en el portafolio en el que se vean tus respuestas, después de ser corregidas del ejercicio 1 (arrastra las expresiones) b) Realiza el ejercicio 2 y enseñale al profesor la puntuación obtenida

R15p por pregunta

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Los polinomios son expresiones algebraicas de sumandos de monomios. Los monomios son multiplicaciones de los coeficientes, y de las variables. El exponente indica el grado de los monomios.

Un polinomio está formado por diferentes monomios, el grado del polinomio es el grado del monomio de mayor grado.

DIOFANTO es un pionero en el mundo del álgebrea, él en el siglo III se invento una serie de símbolos para describir los polinomios.

POLINOMIO

EJEMPLO

MONOMIOS

RETO PORTAFOLIO

RESPONDE, EN TU PORTAFOLIO DIGITAL, A LAS SIGUIENTES PREGUNTAS. NO OLVIDES COPIAR LOS ENUNCIADOS ANTES DE RESPONDER. PREGUNTA 1: EXPRESA EN NUESTRA NOTACIÓN ESTE ESCRITO ENCONTRADO ENTRE LOS ESCRITOS DE DIOFANTO ss3 s5 M c8 x9 U1 PREGUNTA 2: EXPRESA CON LA NOMENCLATURA DE DIOFANTO PREGUNTA 3: ¿Se pueden expresar los polinomios con tus propios símbolos? Inventate un símbolos para representar el polinomio del ejercicio anterior y pon las reglas de tu lenguaje matemático.

R25p por pregunta

TEST DE AUTOEVALUACIÓN

RETOS

SI HAS SACADO MENOS DE 7 VETE PARA ATRÁS Y HAZLO OTRA VEZ

¡7 o MÁS DE 7!

¡MENOS DE 7!

2.1 FACTORIZAR POLINOMIOS

División de polinomios

DIVISIÓN EXACTA: El dividendo es igual al divisor por el cocienteDIVISIÓN INEXACTA O ENTERA: El dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto.

P(X)/Q(X)

Para poder dividir polinomios se realiza igual que una división normal, y se busca obtener el cociente y el resto.

RETOS (EN EL CUADERNO)

Realiza la siguiente operación:

R35p

¿Qué diferencia hay entre una razón y una proporción? Para los cinco ejemplos de magnitudes anteriores, rellena una tabla con sus posibles valores y su relación numérica. Puedes inventar los valores, calcula la razón existente entre ellas y asegúrate de que forman una proporción.

Divide P(X) entre Q(X) y escribe el cociente C(X) y el resto R(X)

R410p

Calcula el cociente y el resto de la división de P(X) entre los siguientes polinomios, indicando si la división es exacta o enteraa) x-1 b) x+1 c) x-2 d) x-3

R515p

2.2 FACTORIZAR POLINOMIOS

TEOREMA DEL RESTO

DIVISIÓN

El valor del polinomio, P(x), cuando hacemos x=a, coincide con el resto de la división P(x): (x-a). Es decir, P(a)= r se realiza igual que una división normal, y se busca obtener el cociente y el resto.

EXACTA

INEXACTA

REGLA DE RUFFINI

La regla de Ruffini es un método de división de un polinomio P(X) entre (x-a) Es un método de expresión que nos permite conocer el cociente y el resto de la división de forma sencilla.

RAÍZ DE UN POLINOMIO

Las raíces de un polinomio son las soluciones de P(x)=0

RETO PORTAFOLIO

RESPONDE, EN TU PORTAFOLIO DIGITAL, A LAS SIGUIENTES PREGUNTAS. NO OLVIDES COPIAR LOS ENUNCIADOS ANTES DE RESPONDER. P(x)= x3 + 2x +2 PREGUNTA 1: ¿CON QUÉ VALORES VA A SER EXACTA LA DIVISIÓN POR x-a? PREGUNTA 2: ¿CUALES SERÁN LAS RAÍCES DEL POLINOMIO? PREGUNTA 3: ¿CUÁNTAS RAÍCES VA A TENER ESTE POLINOMIO? PREGUNTA 4: PARA a=2 ¿CUÁL ES EL VALOR DEL RESTO? ¿Y DEL COCIENTE? PINCHA LOS EJERCICIOS DE MÁS ABAJO. REALIZALOS. COPIA UN PANTALLACO.

R65p por pregunta

RETOS (EN EL CUADERNO)

Realiza la división de P(x)= 4x3 + 12x2 + 5x -6 entre cada uno de los siguientes polinomios y expresa el resultado así: cociente + resto/divisora) x-1 b) 2x -1 c) x+2 d 2x+4 e) 2x+3 f) x-2

R710p

Utiliza la regla de Ruffini para hallar P(x) en los siguientes casos:a) P(x)= 7x4 + 2x - 5x2 - 24 a=2, a=5, a=10 b) P(x)= 3x3 - 3x - 8x2 a=-3, a=1, a=8

R810p

a) Indica si x=-3 es raíz de estos polinomios b) Indica las posibles raíces de cada uno y comprueba si lo son c) El polinomio x4 + 3x3 -2x2 -10x -12 es divisible por x-a para dos valores. Expresa el cociente d) Comprueba que el polinomio x4 + x3 + 7x2+ 2x + 10 no es divisible por x-a. e) Inventa un polinomio de grado 3, cuyas raíces sean 3, -2 y -1. f) Inventa un polinomio de grado 4 y otro de grado que no tenga raíces.

R915p

2.2 FACTORIZAR POLINOMIOS

FACTORIZAR UN POLINOMIO

FACTORIZAR es descomponer un polinomio en otros de menor grado.

EXACTA

INEXACTA

EJEMPLOS DE PROCEDIMIENTOS DE FACTORIZACIÓN

SIN REGLA DE RUFFINI

REGLA DE RUFFINI

RETOS (EN EL CUADERNO)

Después de ver el primer video factorizar y decir cuales son las raíces, será más sencillo de:a) P(X) = 12x5 - 36x4 + 27x3 b) Q(X) = 4x2 - 8x +3

R1010p

Factoriza y utiliza la regla de Ruffini después del segundo video en los siguientes casos:a) P (X) = x3- x -6 b) P (X) = 10x4 -3x3 - 41x2 + 12x + 4

R1110p

FACTORIZAR LOS SIGUIENTES POLINOMIOS VIENDO LOS EJEMPLOS DE FACTORIZACIÓN:a) 3x2 +2x -8 b) 3x5 -48x c) 2x3 + x2 - 5x +12 d) 9x4 - 36x3 + 26x2 +4x -3

R1215p

2.3 Identidades notables

Identidades notables

Las igualdades notables son identidades que podemos utilizar siempre que queramos para hacer los cálculos más sencillos.

EXACTA

INEXACTA

RETO PORTAFOLIO

MANTÉN ABIERTO EL GENIALY CON LA DIAPOSITIVA ANTERIOR PARA PODER HACER EL SIGUIENTE EJERCICIO; PINCHA SOBRE EL PLUS. REALIZA LOS EJERCICOS. AVISA AL PROFESOR ANTES DE DAR A CORRGGIR. POR ÚLTIMO, COPIA UN PANTALLACO CON EL RESULTADO.

R1310 p

2.4 Fracciones algebraicas

OPERACIONES

FACTORIZACIÓN

m.c.d

La factorización como ya hemos visto es la descomposición en factores.

m.c.m

POLINOMiO IRREDUCIBLE

FRACCIÓN ALGEBRAICA

Es el cociente entre dos polinomios P(X) / Q (X)

FRACCIONES EQUIVALENTES

SIMPLIFICACIÓN

OPERACIONES ALGEBRAICAS

RETOS DE PORTAFOLIO

R145p

Cálculo mental: a) Simplifica b) Di si son equivalentes

Muevete por la diapositiva anterior y empapate de información.En lugar de copiar el enunciado, añade una definición de cada término con tus palabras que te ayude a resolver los ejercicios. Contesta las preguntas que encuentres (7).

R1510p

EFECTUA LAS OPERACIONES Y SIMPLIFICA EL RESUTADO:

R1615p

EJERCICIOS DE REPASO

TEST DE EVALUACIÓN

EJERCICIOS DE REPASO