Péndulo físico

Un péndulo compuesto es un cuerpo de dimensiones finitas que oscila alrededor de un eje horizontal fijo que pasa por un punto del cuerpo debido a la acción de la fuerza gravitacional (peso). El cuerpo rígido oscilará en un plano vertical cuando se le separe de su posición de equilibrio un ángulo θ y se suelte.

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Para deducir las ecuaciones que gobiernan al péndulo físico consideremos un cuerpo rígido en forma de barra de sección rectangular AB de masa m, suspendida de un eje transversal que pasa por el punto S, tal como se muestra en la figura

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Aplicando las ecuaciones de movimiento de rotaciónDonde es el momento de inercia del cuerpo con respecto al punto O y es la aceleración angular, el signo menos se debe a que el peso produce un momento de restitución.Esta ecuación diferencial es no lineal, por lo que no corresponde a una ecuación diferencial de un movimiento armónico.

I0

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Para desplazamientos angulares θ pequeños, la función trigonométrica sen , donde θ se expresa en radianes. Por tanto la ecuación diferencial se escribeEsta ecuación es la ecuación diferencial de un movimiento armónico simple, movimiento en el cual la aceleración angular es directamente proporcional al desplazamiento angular y de dirección opuesta. La solución de dicha ecuación diferencial es de la forma.

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Donde las constante θmax y φ se determinan de las condiciones iniciales y wn es la frecuencia natural circular expresada porEl período del MAS seráA veces es conveniente expresar IS en términos del momento de inercia del cuerpo con respecto a un eje que pase por su centro de gravedad IG, para ello se usa el teorema de los ejes paralelos, esto es

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Siempre es posible encontrar un péndulo simple cuyo período sea igual al de un péndulo físico dado; tal péndulo simple recibe el nombre de péndulo simple equivalente y su longitud recibe el nombre de longitud reducida del péndulo físico. Utilizando la expresión del período del péndulo simple de longitud , podemos escribirY, por lo tanto, tenemos que

LONGITUD REDUCIDA

Así, en lo que concierne al período de las oscilaciones de un péndulo físico, la masa del péndulo puede imaginarse concentrada en un punto (O') cuya distancia al eje de suspensión es . Tal punto recibe el nombre de centro de oscilación. Todos los péndulos físicos que tengan la misma longitud reducida (respecto al eje de suspención) oscilarán con la misma frecuencia; i.e., la frecuencia del péndulo simple equivalente, de longitud .

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Momentos de Inercia respecto al centro de masa cuerpos conocidos

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Adaptado de: fisica2ficunasam.zonalibre.org/VIBRACIONES 20MECANICAS 20OPTA 20201

Un aro circular de 65.3cm de radio y de 2.16 kg de masa se halla suspendido de un clavo horizontal a) Determine la frecuencia de oscilación con pequeños desplazamientos del equilibrio. b) ¿Cuánto mide el péndulo equivalente?

Solución:

a) Utilizando la expresión:

EJERCICIOS

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Y recordando que f=1/T, tenemos:

La longitud equivalente del péndulo simple es:

EJERCICIOS

Un péndulo físico en forma de objeto plano se mueve en movimiento armónico simple con una frecuencia de 0.450 Hz. El péndulo tiene una masa de 2.20 kg y el eje se ubica a 0.350 m del centro de masa. Determine el momento de inercia del péndulo en torno al punto de giro.Despejando I0 de la expresión encontrada para la frecuencia:

EJERCICIOS