Homotecias Geometría, 8° Nivel Prof. Gustavo A. Umaña A.

Homotecias

Geometría, 8° Nivel

Prof. Gustavo A. Umaña A.

Podemos agrandar o encoger imagenes a nuestro antojo sin una computadora???

...Claro que sí

Materiales a utilizar:• Imágenes de pentágonos, previamente recortados (Se dejan en la fotocopiadora)• Hoja blanca o cuadriculada.• Cinta adhesiva.• Lápiz de grafito.• Lápices de color: Rojo, azul, amarillo, naranja y verde.• Regla y escuadra.• Linterna.• Espejo.

Materiales

Desarrollo

• En una hoja de papel (cuadriculada por facilidad) se traza una línea diagonal del extremo superior derecho al inferior izquierdo.
• Se elige uno de los colores y se subraya la diagonal previa.

Desarrollo

3. Ahora, con cuidado de utilizar poca cinta adhesiva (para despegar fácilmente) se fija uno de los pentágonos grandes bien al extremo superior, haciendo coincidir el vértice amarillo y la mitad del lado opuesto (verde rojo) con la línea amarilla.

Desarrollo

4. Seguidamente se realiza el mismo procedimiento con un pentágono más pequeño, pero separado del anterior a un dedo o un centímetro de distancia.

Desarrollo

5. Una cada extremo del mismo color de los pentágonos con una línea del color correspondiente a cada vértice y extienda a lo largo de toda la hoja.

Desarrollo

¿Qué elementos permanecen invariantes y cuales varían? ¿Hay relaciones métricas entre los lados y ángulos del nuevo pentágono y los dos pentágonos anteriores? ¿Hay relaciones métricas entre las distancias del centro al último pentágono y de este con los otros?

Desarrollo

¿Hay relaciones métricas entre las distancias del centro al pentágono pequeño y del pentágono pequeño al grande? ¿Qué elementos varían?

Acabamos de realizar una homotecia directa

Desarrollo

Aquí podemos apreciar un ejemplo:

Desarrollo

En el ejemplo de la lámpara ¿cuál es el centro de la homotecia?

Desarrollo

6. Ahora ubique de igual forma el pentágono pequeño restante, pero este debe ubicarse más abajo del centro, haciendo coincidir los colores.

Desarrollo

No es tan sencillo, una forma de colocar el pentágono es seguir el orden naranja, verde, amarillo, rojo, azul, amarillo, naranja. Inténtenlo

Desarrollo

6. Ahora ubique de igual forma el pentágono pequeño restante, pero este debe ubicarse más abajo del centro, haciendo coincidir los colores.

Desarrollo

¿Que notan con respecto a las líneas?¿Qué elementos permanecen invariantes? ¿Hay relaciones métricas entre los lados y ángulos de los dos pentágonos?

Acabamos de realizar una homotecia indirecta

Desarrollo

Aquí podemos apreciar un ejemplo:

Desarrollo

Nuevamente ¿cuál es el centro de la homotecia?

Desarrollo

Se obtiene algo parecido a esto:

Desarrollo

7. Ahora, con mucho cuidado, retire sus pentágonos y complete las líneas de colores.

Desarrollo

8. Cree un polígono en el extremo superior derecho, de cinco trazos rectos, uniendo cada línea de color, pero cuidando el orden y apuntándolo.

Desarrollo

9. Finalmente, acercándose más al centro en el mismo lado haga los mismos trazos manteniendo cada lado paralelo a la primera figura, para esto se debe apoyar con regla y escuadra; y se debe seguir el mismo orden: naranja, verde, amarillo, rojo, azul, amarillo, naranja. Se repite el ejercicio del otro lado del centro.

Desarrollo

Este es mi resultado:

Desarrollo

Ya saben estas preguntas y respuestas:_Elementos invariantes y variantes. _Relaciones métricas entre los lados y ángulos de las nuevas figuras y los anteriores. _Relaciones métricas entre las distancias del centro a la última figura y esta con las otras.

Definición de Homotecia

Una homotecia es una transformación afín que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. En general una homotecia de razón diferente de 1 deja un único punto fijo, llamado centro.

Definición de Razón de la homotecia

La relación entre los segmentos definidos por este centro y los puntos transformado y original es una constante denominada razón de la homotecia (k)

Definición de Homotecia Directa

Es aquella en la cual el punto de homotecia o el centro de homotecia se encuentra despues o antes de la figura trazada.La constante de proporcionalidad es positiva.

Definición de Homotecia Inversa

Es aquella en la cual el punto de homotecia o el centro de homotecia se encuentra entre las figura trazada.La constante de proporcionalidad es negativa.

Veamos la primera imagen:

Resumen:

Finalmente, veamos un par de vídeos:

Referencias:

Ministerio de Educación Pública (2012) Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada. San José, Costa Rica.

PDD Profesor de Dibujo (2013) Trazar homotecia inversa conociendo su centro y dos puntos homólogos, tomado de: https://www.youtube.com/watch?v=DiftHbfjM6M

PDD Profesor de Dibujo (2013) Trazar homotecia directa conocido el centro y dos puntos homotéticos, tomado de: https://www.youtube.com/watch?v=T2AdPgCykVE&t=18s

¡Muchas Gracias!