Cónicas :)

Cónicas

Al cortar con un plano a una superficie cónica, se obtiene distintos lugares geométricos: las secciones cónicas.

¿Qué son las cónicas?

El descubridor de las secciones cónicas fue Menecmo (380-320 a.C.), un discípulo de Platón y maestro de Aristóteles y de Alejandro Magno. Menecmo descubrió las cónicas casi por casualidad, buscando una solución al famoso (e irresoluble) problema de la duplicación del cubo .Pero fue el geómetra Apolonio de Perga (c.262-c.190 a.C.) el que descubrió que se podían obtener los tres tipos de cónicas variando la inclinación del plano en un mismo cono.

2. Origen.

• La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto determinado, el centro, es un valor dado (el radio).
• La elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de su distancia a dos puntos fijos, los focos, es una constante equivalente a la longitud del semieje mayor de la elipse.
• La parábola es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un foco equivale a su distancia a una recta llamada directriz.
• La hipérbole es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia entre sus distancias a dos puntos fijos, los focos, es igual a una constante (positiva), que equivale a la distancia entre los vértices.

Los lugares geométricos más usuales son:

3. Lugares geométricos.

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen determinadas condiciones o propiedades geométricas.

1. Circunferencia:

En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia tiene centro en el punto (h, k) y radio r. Está formada por todos los puntos (x, y) que cumplen la ecuación:

La excentricidad, ε (épsilon) es un parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica con respecto a una circunferencia. Para cualquier punto perteneciente a una sección cónica, la razón de su distancia a un punto fijo F (foco) y a una recta fija l (directriz) es siempre igual a una constante positiva llamada excentricidad ε.

La excentricidad.

2. Elipse:

Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor (d(P,F1)+d(P,F2)=2a).

Una elipse es la curva cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría

Se denomina parábola al lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta dada, llamada directriz, y de un punto exterior a ella, llamado foco.

3. Parábola:

Los focos son dos puntos, F1 y F2. La resta de la distancia de cualquier punto a un foco y al otro es siempre una constante. El valor de esa constante es la distancia entre los vértices V1 y V2 de la hipérbola (2a).

Curva simétrica respecto de dos ejes perpendiculares entre sí, compuesta de dos ramas abiertas, dirigidas en sentidos opuestos, que se aproximan indefinidamente a dos asíntotas, de modo tal que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es siempre constante.

4. Hipérbolas

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1. Encontrar la ecuación de una cricunferencia con centro en el punto P= (1, 2) y que es perpendicular a la recta L de ecuación 2y -x +2 = 0. Solución: (x - 1)^2 + ( y - 2)^2 = 5 2.

Problemas.

• Circunferencia:

Aplicaciones

1. Las órbitas de los planetas alrededor del sol son elípticas (el sol se encuentra en uno de losfocos). La excentricidad de la órbita de la Tierra alrededor del Sol es aproximadamente0,0167. En el extremo contrarioestá el cometa HALLEY cuya excentricidad es de 0,9675, muy próxima a 1. 2. APOLO XIII. El 11 de Abril de 1970 el cohete Saturno V impulsó desde Cabo Kennedy ala nave espacial Apolo XIII en su misi´on hacia la Luna. Alrededor de 56 horas después eltanque de oxígeno número 2 del módulo de servicio explotó, forzando el final adelantado de la misión. Cuando la explosión tuvo lugar, los astronautas estaban a 200.000 millas dela Tierra. En el espacio lo peor que se puede hacer es apuntar la nave hacia la Tierra y encenderlos cohetes. Para volver a la Tierra tuvieron que elegir la órbita más adecuada.

• Elipse:

1. Las trayectorias de los proyectiles tienen forma parabólica. 2. Los chorros de agua que salen deun surtidor tienen también forma parabólica. Si salen varios chorros de un mismo punto a la misma velocidad inicial pero diferentes inclinaciones, la envolvente de esta familia de parábolas es otra parábola.

• Parábolas:

Consideremos un espejo que tenga forma de hipérbola. Si un rayo de luz que parta de uno de los focos choca contra el espejo, se reflejará alejandose directamente del otro foco.

• Hipérbolas:

¿Le has dado a todos los animalitos?

FIN.

FIN.

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