Hilbert Definitivo

Universidad de León. Escuela de Ingenierías Industrial, Informática y Aeroespacial

Ingeniería Aeroespacial. Departamento de Cálculo

Problemas de Hilbert

Realizado por: Victor Ameneiros Castrillo, César Ropero Ibáñez, Pablo Ibáñez Cabezas, Luis Enrique Canal Ballesteros y Victor Amaro del Río

Diciembre 2016

ÍNDICE

• Biografía
• Problemas de Hilbert
• Bibliografía

BIOGRAFÍA

David Hilbert nació en Alemania en 1862 y falleció en Gotinga en 1943. Estudió en las universidades de Berlín y de Heidelberg, asistiendo en la primera de ellas a clases de Weierstrass, Helmholtz, Kummer y Kronecker. A finales de 1884 se doctoró, y su tesis trataba sobre los invariantes algebraicos En la universidad de Gotinga desarrolló el resto de su carrera profesional. Centró su estudio en la geometría, intentando plasmar una idea: lo importante de los cuerpos geométricos no es su naturaleza, sino la de sus interrelaciones. En 1900, en el Congreso Internacional de Matemáticos de París, mostró una lista de veintitrés problemas que todavía no habían sido resueltos. Afirmaba que el futuro de la matemática consistía en continuar resolviendo problemas.

Sus posteriores investigaciones recayeron en los llamados espacios de Hilbert, concepción de los espacios de infinitas dimensiones.

PROBLEMAS DE HILBERT

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Primer problema: Enunciado

Hablando de la hipótesis del continuo, ¿existe algún conjunto X, cuyo tamaño sea superior al de los números racionales pero inferior al de los reales?

Solución

Primer problema: Solución

: La respuesta viene dada por Cantor y dice así: “No existen conjuntos cuyo tamaño esté estrictamente comprendido entre el de los números racionales y el de los reales”. Esto se conoce como la hipótesis del continuo. La demostración o negación de esta hipótesis se considera como el primer problema de Hilbert. A lo largo de la historia se han construido teorías de conjuntos consistentes mediante axiomas corroborando y negando dicha hipótesis.Así pues, la solución a este problema puede considerarse la imposibilidad de afirmación o negación de la hipótesis del continuo.

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Segundo problema: Enunciado

¿Se puede probar que los axiomas de la aritmética son consistentes?

Solución

Segundo problema: Solución

Respecto a este problema hay quienes afirman que se ha demostrado la imposibilidad de establecer un sistema consistente. Por otra parte, algunos, como Gentzen, han demostrado la consistencia de la aritmética.Se ha demostrado que estos son los axiomas de la aritmética, y que por tanto, son irreducibles. Esto daría validez a la primera afirmación. Siendo a, b y c números cualesquiera:1) a + b = b + a y a . b = b . a2) (a + b) + c = a + (b + c) y (a . b) . c = a . (b . c)3) a . (b . c) = a . b + a . c4) a + 0 = a5) a . 1 = a6) Si c ≠ 0 y c . b = c . a, entonces a = b7) Para cada número “x” existe otro número “y” tal que: x + y = 0

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Tercer problema: Enunciado

Dados dos poliedros de idéntico volumen, ¿se puede cortar uno de ellos en una cantidad finita de piezas poliédricas con las cuales poder construir el segundo poliedro?

Solución

Tercer problema: Solución

Fue resuelto en el mismo año en el que se propuso, 1900, por uno de los alumnos del propio Hilbert, Max Dehn. Básicamente demostró que no siempre era posible. Para ello introdujo lo que se conoce como invariante de Dehn, una cantidad que ha de ser igual para los dos poliedros siempre que fuera posible pasar de uno a otro mediante la sección y posterior reconstrucción de las piezas. El invariante de Dehn de un poliedro X es el número: f(X) = Σ f(Ai). (Li)Donde el sumatorio se hace sobre las aristas del poliedro, siendo “Li” la longitud de las aristas y “Ai” el ángulo diedral.

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Cuarto problema: Enunciado

¿Se pueden calcular todas las métricas cuyas rectas sean geodésicas?

Solución

Cuarto problema: Solución

Este problema se considera resuelto pero su resolución es demasiado larga como para llevarse a cabo...

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Quinto problema: Enunciado

¿Son los grupos continuos grupos diferenciales de forma automática?

Solución

Quinto problema: Solución

Lo resolvió Andrew Gleason, en 1952, aunque su respuesta no es universalmente aceptada como válida, sí que cuenta con cierta aceptación parcial. Las soluciones son demasiado complejas pero vienen a decir que todo grupo localmente compacto y conexo X, es límite proyectivo de una secuencia de grupos de Lie, y que si X no tiene subgrupos, entonces X es un grupo de Lie.Los grupos de Lie sirven para estudiar la simetría de estructuras analíticas

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Sexto problema: Enunciado

¿Se puede axiomatizar toda la física?

Solución

Sexto problema: Solución

Análogamente a lo sucedido en el cuarto problema, resulta una tarea demasiado larga descomponer todo el conocimiento de la física en axiomas, además de que no se sabe si es posible. No obstante, se consideran totalmente axiomatizadas algunas partes de la física, como la termodinámica, la mecánica clásica y la teoría de probabilidades.Algunas fuentes afirman también que la relatividad especial y la teoría cuántica de campos están axiomatizadas, pero hoy en día se siguen dando nuevos avances en estas áreas de la física, por lo que los postulados antiguos son susceptibles de cambiar

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Séptimo problema: Enunciado

¿Es a^b trascendental, siendo a ≠ 0,1 algebraico y b irracional algebraico?

Solución

Séptimo problema: Solución

La respuesta es que sí, y viene dada por el teorema de Gelfond-Schneider, que dice así:“Si a y b son números algebraicos en el cuerpo de los complejos, siendo “a” distinto de 0 y “b” irracional, entonces ab es un número trascendental”.

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Octavo problema: Enunciado

¿Se podrían probar la hipótesis de Riemann y la conjetura de Goldbach?

Solución

Octavo problema: Solución

Sin resolver.Son dos de los problemas de mayor relevancia en la matemática moderna aún sin resolver: La hipótesis de Riemann, que trata la distribución de los ceros en la función zeta de Riemann, de las más importantes en la teoría de números, en el campo de los números primos. La conjetura de Goldbach, uno de los problemas más antiguos abiertos de las matemáticas, e incluso considerado el más difícil, afirma que: “Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos”

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Noveno problema: Enunciado

¿Se puede hallar una ley más general del teorema de reciprocidad para cualquier cuerpo numérico algebraico?

Solución

Noveno problema: Solución

Se considera parcialmente resuelto.Dicho teorema fue propuesto por Euler, en una carta enviada a Goldbach, en el s.XVIII. 50 años después se intentó demostrar, pero sin argumentos contundentes, y no sería hasta empezado el s. XIX, cuando Gauss lo probó definitivamente en uno de sus libros. Lo nombró como teorema áureo

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Décimo problema: Enunciado

¿Existe un algoritmo que determine que una ecuación diofántica polinómica de coeficientes enteros tenga solución entera?

Solución

Décimo problema: Solución

Está resuelto, y la solución es que no existe tal algoritmo. Dicha respuesta se ve reflejada en el teorema de Matiyasevich, quien elaboró una respuesta a partir de ecuaciones, tanto de primer como de segundo grado, siendo estas diofánticas (ecuaciones algebraicas, con dos o más incógnitas, de coeficientes pertenecientes al conjunto de los enteros, y soluciones enteras) estableciendo dicho problema como irresoluble.

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Undécimo problema: Enunciado

¿Se pueden resolver las formas cuadráticas de coeficientes numéricos algebraicos?

Solución

Undécimo problema: Solución

Está parcialmente resuelto, según en qué conjunto:Acerca de los números racionales estudió Helmut Hasse, entre 1923 y 1924, determinando la invariante de Hasse-Witt. Y Carl Ludwig Siegel estudió los números enteros y la teoría de números, estudios que le llevaron al premio Wolf de matemáticas en 1978. Ambos estudios están aceptados por consenso como solución a este problema.

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Duodécimo problema: Enunciado

¿Es posible que el teorema de Kronecker de las extensiones abelianas de los números racionales sea válido para cualquier cuerpo numérico de base?

Solución

Duodécimo problema: Solución

Sigue actualmente si resolver.El teorema de Kronecker es, en matemáticas, una aplicación válida para muchos números reales por aproximación diofántica, con xi tal que 1≤ i ≤ N. Pero el hecho de que solo se aplique al intervalo anterior, sumado a las complicaciones que suponen las aproximaciones y ecuaciones diofánticas, hacen que sea imposible resolver, de momento, este problema.

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Decimotercer problema: Enunciado

¿Se pueden resolver, usando funciones de solo dos parámetros, para todas las ecuaciones de 7º grado?

Solución

Decimotercer problema: Solución

Lo resolvieron Vladímir Arnold y Andréi Kolmogórov en 1957, con resultado negativo. Es decir, el problema en sí era la conjetura de que no era posible conseguirlo, y ellos dos demostraron que siempre era posible.Las ecuaciones de séptimo grado son las primeras en las que no es tan obvio que se puedan resolver por superposición de funciones de dos parámetros, lo que se demostró que sí.Pese a todo esto, algunos consideran que el problema hace referencia a resolverlo por superposición algebraica de dichas funciones, en cuyo caso el problema aún seguiría abierto.

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Decimocuarto problema: Enunciado

¿Se puede probar la finitud de algunos sistemas completos de funciones?

Solución

Decimocuarto problema: Solución

Esta cuestión está resuelta. Su solución es que no se puede probar por regla general que ciertos sistemas completos de ecuaciones sean finitos. Esto ha sido resuelto por un contraejemplo en el año 1959 por el matemático japonés Masayoshi Nagata. Y como ya sabemos cualquier afirmación se puede negar con un solo ejemplo que la contradiga.

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Decimoquinto problema: Enunciado

¿Cuál es el fundamento riguroso del cálculo enumerativo de Schubert?

Solución

Decimoquinto problema: Solución

Este problema fue resuelto por Van der Waerden a mediados del siglo XX desde el cálculo de clases cohomológicas algebraicas, siendo estas unas de la principales herramientas en la geometría moderna, aunque no se abarquen apenas en la clases de matemáticas actualmente

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Decimosexto problema: Enunciado

¿Cuál es la topología de las curvas y superficies algebraicas?

Solución

Decimosexto problema: Solución

Este problema no ha sido resuelto hasta el momento. No se ha llegado a una conclusión debido a la complejidad de la cuestión, sí ha habido alguna aportación por parte de Ilia Itemberg dando buenos resultados sobre la topología de curvas, pero no consiguió solucionarlo totalmente

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Decimoséptimo problema: Enunciado

¿Es posible hallar la expresión de una función, siendo ésta definida y racional, como un cociente de sumas de cuadrados?

Solución

Decimoséptimo problema: Solución

Para este problema Pfister dio como solución un límite como máximo del número de términos cuadrados necesarios

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Decimoctavo problema: Enunciado

¿Cuál es el apilamiento compacto con más densidad?

Solución

Decimoctavo problema: Solución

A esta cuestión se le denomina conjetura de Kepler y dice que si se apilan esferas idénticas, la máxima densidad se logra con un apilamiento piramidal de caras centradas. Thomas Hales en al año 1998 demostró esta afirmación y también unos científicos han comprobado que hay un 99% de posibilidades de que sea cierto

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Decimonoveno problema: Enunciado

las soluciones de los Lagrangianos analíticas en todos los casos?

Solución

Decimonoveno problema: Solución

Este problema se encuentra resuelto. Fue resuelto por Sergey Bernstein en 1904. Primeramente, Hilbert había propuesto este problema como un problema de regularidad para una clase de ecuaciones diferenciales parciales con coeficientes analíticos. Es por eso que los primeros intentos de resolver este problema estuvieron destinados a estudiar la regularidad para las soluciones clásicas de las ecuaciones pertenecientes a dicha clase. Más tarde Bernstein consiguió resolver este problema de manera positiva para las soluciones de C3 (orden de continuidad en el que la primera, segunda y tercera derivada son continuas). Bernstein demostró que las soluciones de ecuaciones analíticas elípticas no lineales de C3 eran también analíticas.

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Vigésimo problema: Enunciado

¿Todos los problemas variacionales con ciertas condiciones de contorno tenían solución?

Solución

Vigésimo problema: Solución

Este problema fue resuelto en lo general por Poincaré, Neumann y H.A. Schwarz por medio de unos sagaces procedimientos para la ecuación diferencial del potencial. El problema era que estos procedimientos parecían no ser útiles en el caso en el que a lo largo del contorno había establecidos los coeficientes diferenciales o alguna de las posibles relaciones entre el dicho contorno y los valores de la función. Para este caso se utilizaron los problemas de los valores límite. Esto consiste en una ecuación diferencial con unas condiciones especiales, las llamadas condiciones de contorno que se mencionan en el enunciado del problema. Hay que destacar que para que un problema de valores límite sea útil debe ser un “problema bien planteado”, por lo que tiene que cumplir tres condiciones establecidas por el matemático Jacques Hadamard (el cual introdujo la expresión de “problema bien planteado”, en 1892), que son las siguientes: 1. Debe existir una solución, que además debe ser única El comportamiento de dicha solución varía cuando las condiciones iniciales cambian (en este caso las condiciones de contorno

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Vigesimoprimer problema: Enunciado

¿Es posible comprobar la existencia de ecuaciones lineales diferenciales que posean un grupo monodrómico prescrito?

Solución

Vigesimoprimer problema: Solución

Este problema se encuentra resuelto. El primero que divulgó una solución fue el matemático Josip Plemelj, en 1908. También publicaron sus trabajos sobre este problema los matemáticos Birkhoff y Schlesinger, y en 1964 Josip Plemelj recopiló todo ese trabajo. Plemelj demostró que cualquier grupo monodrómico puede ser elaborado por un sistema regular lineal fuchsiano en su plenitud excepto en un punto singular. El error de Plemelj consistió en que él aseguraba que el sistema podía ser fuchsiano en todos los puntos. Más tarde Andrey Bolibruch desarrolló un contraejemplo para el enunciado de Plemelj, en el que demostraba que para una configuración dada de un polo, algunos grupos monodrómicos podían ser realizados por sistemas regulares (y no Fuchsianos). Luego, en 1992, Andrei Bolibrukh probó que para cualquier tamaño de un grupo monodrómico irreductible, este podía ser realizado por un sistema Fuchsiano.

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Vigesimosegundo problema: Enunciado

¿Es posible la uniformización de las relaciones analíticas mediante funciones automórficas?

Solución

Vigesimosegundo problema: Solución

Este problema se encuentra resuelto. Como Poincaré consiguió probar, es siempre posible reducir cualquier relación algebraica entre dos variables de uniformidad mediante la utilización de funciones automórficas de una variable; lo cual quiere decir que, teniendo una ecuación algebraica en dos variables, siempre podríamos encontrar para dichas variables dos funciones automórficas de un único valor y de una única variable tal que su sustitución hace que la ecuación algebraica que teníamos sea una identidad. También Koebe trabajó en resolver este problema. Su aportación fue probar el teorema general de uniformización tal que si una superficie de Riemann es homeomórfica con respecto a un abierto de la esfera compleja, entonces es equivalente a un subconjunto abierto de la esfera compleja.

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Vigesimotercer problema: Enunciado

¿Se puede hallar la completa extensión de los métodos del cálculo de variaciones?

Solución

Vigesimotercer problema: Solución

Este problema se encuentra no resuelto. El cálculo de variaciones consiste en un campo del análisis matemático que se ocupa de minimizar o maximizar los funcionales, los cuales son asignaciones de un grupo de funciones de los números reales. El verdadero interés está en las funciones extremas, que provocan que el funcional alcance su valor máximo o mínimo, o en las funciones estacionarias, en las cuales la tasa de variación del funcional es cero. Basándose en este planteamiento del problema, los matemáticos David Hilbert, Henri Lebesgue, Leonida Tonelli... han contribuido al desarrollo de este problema, entre otros matemáticos que han planteado diversas teorías, pero sin llegarse a resolver completamente el problema

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