Representación Gráfica de Funciones

ESQUEMA A SEGUIR EN LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

Para la representación gráfica de una función real de variable real estudiaremos sus propiedades y aplicaremos el cálculo diferencial, siguiendo los siguentes pasos:

DOMINIO

El dominio de una función es el conjunto de números reales que tienen imagen. Es decir, los valores x para los que se puede calcular y=f(x).

RECORRIDO

El rango o recorrido de una función es el conjunto de las imágenes. Es decir, son los valores y para los que existe algún valor x tal que y=f(x).

(para profundizar)

SIMETRÍAS

Simetría Par(respecto al eje OY): Si f(-x)=f(x) la función es simétrica par.Simetría Impar (respecto del origen de coordenadas): Si f(-x)=-f(x) la función es simétrica impar .

PERIODICIDAD

La función es periódica de período T cuando se verifica f(x+kT)=f(x) para cualquier punto x del dominio, siendo T el menor número real que cumple esta condición. Las funciones periódicas más conocidas son las trigonométricas.

PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES

Corte con el eje OX (y=0): valores de x para los que f(x)=0. (Puede no haber puntos de corte con el eje, o cortar en 1, 2 ,... hasta en infinitos puntos).Corte con el eje OY (x=0): Para x=0 se calcula el valor de y=f(0). (Puede no cortar al eje o cortar en un único punto).

CONTINUIDAD

EL estudio de la continuidad de la función está unido al estudio de su dominio y nos proporciona información sobre las asíntotas verticales.

RAMAS INFINITAS Y ASÍNTOTAS

Cuando estudiamos el punto de partida ( ) y de llegada ( ) de la función, nos podemos encontrar con situaciones diferentes: a) Que la función tenga el aspecto de una rama parabólica (rama infinita). b) Que se aproxime cada vez más a una recta (asíntota). Tipos de asíntotas:Asíntotas horizontales: Si , entonc la recta y=k es una asíntota horizontal.Asíntotas verticales: Si , enton la recta x=b es una asíntota vertical. Asíntotas oblicuas:Si la correspondiente rama infinita puede tener o no comportamiento asintótico. Si la recta y=mx+n es una asíntota oblicua determinamos los valores de m y n calculando:

MONOTONÍA Y EXTREMOS RELATIVOS

Crecimiento: Si f'(x)> 0 en (a,b) f(x) es creciente en (a,b).Decrecimiento: Si f'(x)< 0 en (a,b) f(x) es decreciente en (a,b).Máximo relativo: Si f'(c)=0 y f''(c)< 0 el punto P(c,f(c)) es un máximo relativo. Mínimo relativo: Si f'(z)=0 y f''(z)> 0 el punto Q(z,f(z)) es un mínimo relativo.

CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN

Concavidad: Si f''(x)> 0 en (a,b) f(x) es cóncava en (a,b).Convexidad: Si f''(x)< 0 en (a,b) f(x) es convexa en (a,b).Punto de inflexión: Si f''(c)=0 y f'''(c) 0 el punto P(c,f(c)) es un punto de inflexión.

EJEMPLOS