Maths 4ème

Mathématiques

4ème

Camille Fidelaire

PLAN

Partie 1 : Travaux numériques

Partie 2 : Organisation et gestion de données

Maths 4ème

Partie 3 : Travaux Géométriques

TRAVAUX NUMERIQUES

Partie 1

Équations, ordre

Relatifs

Nombres en écriture fractionnaire

Chapitres

Calcul littéral

Puissances

Partie 1 Chapitre 1

Les relatifs

1 _ Le nombre relatif

Un nombre négatif est un nombre précédé d'un signe "-". Le nombre (−a) est défini comme le résultat de la soustraction 0−a. Deux nombres opposés sont deux nombres qui ont la même distance à 0 et des signes différents. Attention : ne pas confondre inverse et opposé ! Un nombre relatif est un nombre précédé d'un signe + (il est alors positif) ou − (il est alors négatif).

Pour déterminer l'opposé d'un nombre positif, on ajoute un signe "-" devant. Pour déterminer l'opposé d'un nombre négatif, on retire le signe "-". Tout entier naturel ou tout nombre décimal est un nombre relatif. Pour désigner un nombre relatif, on l'entoure de parenthèses. En général, les nombres positifs s'écrivent sans signe + et sans parenthèses.

2 _ Addition et soustraction de nombres relatifs

Dans une séquence d'additions et soustractions, on peut enlever les parenthèses des nombres relatifs et supprimer leurs signes en suivant la règle : Lorsque deux signes identiques se suivent, on les remplace par un +. Lorsque deux signes différents se suivent, on les remplace par un −. Exemple : (+11)−(−16)+(−4) = 11+16−4=27−4=23 Exercices : Simplifie l'expression E = (+ 4) + (– 11) – (+ 3). Calcule l'expression D = (+ 4) + (– 5) – (– 8) en effectuant les calculs de gauche à droite.

Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on additionne leur distance à zéro et on garde le signe commun. Exercice : Calculer A = (-2) + (-3) Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires, on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande et on prend le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro. Exercice : Calculer B= (– 5) + (+ 7) Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. Cela signifie que toute soustraction peut s'écrire comme une addition.

3 _ Multiplication et division de nombres rationnels

Pour multiplier deux nombres relatifs, on multiplie leur distance à zéro et on applique la règle des signes suivante :

• le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif
• le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif

Exemples : 6 × 4 = 24 (-6) × 4 = - 24 (-6) × (-4) = 24 6 × (-4) = - 24

Exercices : Quel est le signe du produit : H = – 6 × 7 × (– 8) × (– 9) ? Calcule le produit : J = 2 × (– 4) × (– 5) × (– 2,5) × (– 0,8). Pour la division c'est la même chose ! Il faut suivre les mêmes règles de signe.Pour calculer le quotient d'un nombre relatif par un nombre relatif non nul, on divise leur distance à zéro et on applique la règle des signes suivante :

• le quotient de deux nombres relatifs de même signe est positif
• le quotient de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif.

Le quotient de 0 par n'importe quel nombre non nul est égal à 0. Cela signifie que pour tout nombre relatif non nul a, on a 0/a = 0

Multiplier un nombre par (-1) revient à calculer son opposé. Le produit de plusieurs nombres relatifs est :

• positif s'il comporte un nombre pair de facteurs négatifs
• négatif s'il comporte un nombre impair de facteurs négatifs

3 _ Calculs avec des nombres relatifs

Dans une suite d'opérations avec des nombres relatifs, on effectue dans l'ordre :

1. calculs entre parenthèses
2. les multiplications et divisions
3. les additions et soustractions.

Exercice corrigé : Effectue le calcul suivant : M = – 4 – 5 × (– 2 – 6)

1. On repère et effectue le calcul prioritaire M = – 4 – 5 × (– 2 – 6)
2. On effectue ensuite la multiplication. M = – 4 – 5 × (– 8)
3. On effectue ensuite l'addition M = – 4 + 40
4. On obtient alors M = 36

Cahier élève

Livre exercices

Nombres en écriture fractionnaire

Partie 1 Chapitre 2

1 _ Egalité de quotients

De même, on peut réduire des quotients au même dénominateur. C'est trés utile pour pouvoir additionner ou soustraire deux quotients ! Pour celà, il faut trouver le multiple commun non nul le plus petit possible. Exercices :

• Réduis les quotients 2/9 et 5/12 au même dénominateur.
• Compare les quotients 2/7 et 3/8.

Si deux nombres en écriture fractionnaire sont égaux alors leurs produits en croix sont égaux. Et réciproquement. Pour tous nombres a, b, c et d où b et d sont non nuls : Exercices :

• Les nombres 2,1/3,5 et 4,1/6,9 sont-ils égaux ? Justifie
• Détermine le nombre manquant dans l'égalité − 1,2/6 = .../7

Si on multiplie ou si on divise le numérateur et le dénominateur d'un quotient par un même nombre non nul alors on obtient un quotient égal. Pour tous nombres a, b et k où b et k sont non nuls : On peut alors simplifier des quotients. Il faut trouver un (ou plusieurs) facteur(s) commun(s) entre le numérateur et le dénominateur, puis diviser les deux par ce(s) nombre(s). Exercices :

• Simplifie le quotient -42/ 140.
• Détermine le nombre manquant dans l'égalité −1,2/6 = .../18.

2 _ Addition, soustraction et multiplication de fractions

Pour multiplier des nombres en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Pour tous nombres a, b, c et d où b et d sont non nuls : Pour multiplier deux fractions, il n'est pas nécessaire qu'elles possèdent le même dénominateur. Il est souvent préférable de simplifier chacune des fractions avant de les multiplier. Diviser par un nombre (non nul) revient à multiplier par son inverse : Exercice :

• Calcule l'expression B = −35/33 × −39/−80. Donne le résultat sous forme simplifiée.

Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut les mettre au même dénominateur. Pour tous nombres a, b et c où b est non nul : Il faut ajouter ou soustraire les numérateurs mais attention à ne pas additionner ou soustraire les dénominateurs. Ne pas oublier qu'un nombre entier est une fraction dont le dénominateur est égal à 1. ( 5 = 5/1 ) Exercice :

• Calcule l'expression A = −1 + 13/30 − −11/12

3 _Inverse et division de quotients

Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par l'inverse de ce nombre. Pour tous nombres a, b, c et d où b, c et d sont non nuls : Attention à la position du trait de fraction dans un calcul. Exercices :

• Calcule C = −8/7 ÷ 5/−3
• Calcule D = (−32/21) / (−48/−35) et donne le résultat en le simplifiant le plus possible.
• Quelle est la nature du nombre E défini parE = (1+2/3) / (1−2/3) ?

Deux nombres sont inverses l'un de l'autre si leur produit est égal à 1. Tout nombre x non nul admet un inverse (noté x ) qui est le nombre 1 /x . • Tout nombre en écriture fractionnaire a/b (a ≠ 0 et b ≠ 0) admet un inverse qui est le nombre b/a . Remarques :

• Un nombre et son inverse ont toujours le même signe. En effet, leur produit 1 est positif et seul le produit de deux nombres de même signe est positif.
• Zéro est le seul nombre qui n'admet pas d'inverse. En effet, tout nombre multiplié par 0 donne 0 et ne donnera jamais 1.

Exercice :

• Quels sont les inverses des nombres 3 et − 7/3 ?

-1

Puissances

Partie 1 Chapitre 3

1 _ Puissances entières d'un nombre relatif

Pour tout nombre entier n positif non nul, pour tout nombre relatif a: si a est non nul : Par convention : a =1 En particulier :a = a et a = 1/a . Exemples :

• Donne l'écriture décimale des nombres : 2 et 10
• Écris sous la forme d'une puissance les expressions : 3 × 3 et 2 / 2

Pour tout nombre entier relatif n,• Si a est positif alors a est positif. • Si a est négatif alors a est positif lorsque l'exposant n est pair, et négatif lorsque l'exposant n est impair. Exemple :

• Quel est le signe de A = (– 3) et de B = (– 2) ?

1 -1

4 -5

4 -3

2 3 3 5

2 _ Puissances de 10

Exemples :

• Donne l'écriture décimale des nombres 208,641 ×10 et 37,1 × 10 .
• Par combien faut-il multiplier 7,532 pour obtenir 75 320 ? Par combien faut-il multiplier 7 pour obtenir 0,007 ?

Dans tout ce paragraphe, on considère deux nombres entiers relatifs m et p. Exemples :

• Donne l'écriture décimale des nombres A = 10 × 10 etB = 10 × 10 .

• Écris les nombres C = 10/10 et D = 10 /10 sous la forme d'une seule puissance de 10.

Il n'y a pas de règle avec l'addition ou la soustraction ! Exemple :

• Écris le nombre sous la forme d'une seule puissance de 10.
• Donne l'écriture décimale de

-3

Pour tout nombre entier n> 0 : Autrement dit, 10 est l'inverse de 10 . Exemple :

• Écris les nombres 100 000 ; 0,01 ; 100 et 0,000 001 sous la forme d'une puissance de 10.

Multiplier un nombre par 10 revient à décaler la virgule de n rangs vers la droite (on complète par des zéros si nécessaire). Multiplier un nombre par 10 revient à décaler la virgule de n rangs vers la gauche (on complète par des zéros si nécessaire). Multiplier par 10 revient à diviserpar 10 .

-n n

4 3

-3 -7

-3 -7 3

-n

-n

-n

3 _ Écriture scientifique

Tout nombre décimal non nul peut être écrit en notation scientifique, c'est-à-dire sous la forme :a × 10 , où a est un nombre décimal ayant un seul chiffre non nul avant la virgule et où nest un nombre entier relatif. a est appelé mantisse du nombre. Pour comparer deux nombres, on peut comparer leurs ordres de grandeur à l'aide de leurs écritures scientifiques. En cas d'égalité des exposants, on compare alors les mantisses. Exemple :

• Compare A = 1,7 ×10 3 et B = 2,5 ×10 – 2 puis compare C = 12,4 ×10 3 et D = 3,1 ×10 4 .
• Écris le nombre A = 6 430 en notation scientifique.

Le calcul littéral

Partie 1 Chapitre 4

1 _ Simplification d'une expression littérale

L'opposé d'une somme algébrique est égal à la somme des opposés de chacun de ses termes. Exemple :

• Quel est l'opposé de la somme algébrique a + b – 2ab ?

Cette propriété permet de supprimer des parenthèses précédées d'un signe « – » dans une expression. Exemple :

• Supprime les parenthèses dans l'expressionB = 3x– (– 2x² – 5xy + 4).

Pour simplifier l'écriture d'une expression littérale, on peut supprimer le symbole × devant une lettre ou une parenthèse. Pour tout nombre a, on peut écrire: a × a = a ² (qui se lit « a au carré ») a × a × a = a (qui se lit « a au cube »). On ne peut pas supprimer le signe × entre deux nombres. Exemple :

• Simplifie l'expression suivante : A = – 5 × x + 7 × (– 4) × (3 × x – 2)

2 _ Développement

Pour tous nombres relatifs k, a et b : Exemple :

• Développe l'expression suivante : C = – 3,5(x – 2).

Pour tous nombres relatifs a, b, c et d: Exemple :

• Développe et simplifie l'expression suivante : D = (3x+ 1)(y– 4).

3 _ Factorisation et réduction

Factoriser une somme algébrique revient à la mettre sous la forme d'un produit de sommes algébriques.Pour tous nombres relatifs k, a et b : La factorisation est le procédé "inverse" du développement. Pour factoriser une expression, on peut identifier un facteur commun à chaque terme de la somme. Exemple :

• Factorise les expressions suivantes : E = 14a– 7bF = – x² + 3x.

Une somme algébrique est le résultat d'une succession d'additions et de soustractions.L'ordre des termes d'une somme algébrique peut être modifié, sans modifier pour autant la valeur de la somme. Réduire une somme algébrique revient à effectuer tous les calculs possibles afin d'obtenir une forme plus condensée, appelée forme réduite. Pour réduire une somme, on calcule les valeurs numériques, puis on regroupe les termes qui vont ensemble. Exemples :

• Réduis l'expression : G = 5x² + (3x– 4) – (2x² – 3) + 2x.
• Développe et réduis l'expression : H = 7x(x– 6) + (3x– 2)(4x+ 5).

4 _ Calculs pour une valeur (substitution)

Une expression littérale peut avoir plusieurs formes d'écriture, entre autres :

• une forme réduite
• une forme factorisée
• une forme développée
• une forme initiale...

Pour calculer la valeur numérique d'une expression, on substitue à l'inconnue sa valeur numérique. Mais avant la substitution, il est judicieux de choisir la forme la plus simple pour effectuer les calculs. Pour calculer la valeur numérique d'une expression littérale, il faut parfois faire apparaître quelques signes × sous-entendus.

Exemple :

• On propose de calculer J = (x+ 3)(3x– 1) + 5(x+ 3) pour x= 2.La forme réduite de J est : 3x² + 13x+12.La forme factorisée de J est : (x+ 3)(3x+ 4).

Equations et Ordre

Partie 1 Chapitre 5

1 _ Résolution d'une équation du premier degré

Une équation est une expression dans laquelle il y a toujours un signe égal et une ou plusieurs inconnues (désignées chacune par une lettre, en général). Exemple :

• 2x² – 5 = x +10 est une équation où l'inconnue est désignée par la lettre x.
• Cette équation a deux membres : 2x² – 5 (membre de gauche) et x +10 (membre de droite).

Résoudre une équationd'inconnue x, c'est déterminer toutes les valeurs de x (si elles existent) pour que l'égalité soit vraie. Chacune de ces valeurs est appelée solution de l'équation. Exemples :

• Les solutions de l'équation 2x 2 – 5 = x +10 sont les valeurs du nombre x pour lesquelles l'égalité 2x 2 – 5 = x +10 est vérifiée.
• 3 est-il une solution de l'équation 2x 2 – 5 = x +10 ?

Une égalité reste vraie si on ajoute ou si on soustrait un même nombre à ses deux membres : Une égalité reste vraie si on multiplie ou si on divise ses deux membres par un même nombre non nul : Exemple :

• Résous l'équation 7x + 2 = 4x + 9.

On ne change pas le sens d'une inégalité si on multiplie ou si on divise ses deux membres par un même nombre positif non nul. On change le sens d'une inégalité si on multiplie ou si on divise ses deux membres par un même nombre négatif non nul. Exemple :

• Sachant que a<– 2,5 déduis-en une inégalité pour
• a+ 7
• – 2a.

2 _ Résolution de problème et inégalités

Mettre en équation un problème, c'est traduire son énoncé par une égalité mathématique. Exemple :

• Trouve le nombre tel que son quintuple augmenté de 7 soit égal à 3.

On ne change pas le sens d'une inégalité si on ajoute ou si on soustrait un même nombre à ses deux membres.

ORGANISATION ET GESTION DE DONNEES

Partie 2

Chapitres

Statistiques

Proportionnalité

1 _ Les tableaux de proportionnalité

Pour représenter une situation de proportionnalité, on utilise souvent un tableau de proportionnalité. Par définition, on passe de la première ligne à la seconde en multipliant par un même nombre, pour chaque colonne. Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité. Inversement, on passe de la seconde ligne à la première en divisant par le coefficient de proportionnalité. Dans un tableau de proportionnalité, si l'une des colonnes ne vérifie pas le même coefficient que les autres, il ne s'agit pas d'une situation de proportionnalité. Dans un tableau de proportionnalité, on peut additionner deux colonnes et multiplier une colonne par un nombre.

Deux grandeurs sont proportionnelles si, lorsqu'en en multipliant une par un nombre non nul, l'autre est également multipliée par ce même nombre. Exemple : Max a acheté 1 croissant pour 1,02€. Pour en acheter 3, il devra payer 3 × 1, 02 = 3, 06€. Le prix est proportionnel au nombre de croissants achetés. Deux grandeurs sont proportionnelles si et seulement si on passe des valeurs de la première grandeur aux valeurs de la deuxième en multipliant toujours par un même nombre. Exemple : Pour passer d'un prix en euros (première grandeur) à un prix en francs (deuxième grandeur) on multiplie chaque prix en euros par 6,55957.

Proportionnalité

Partie 2 Chapitre 1

2 _ Le produit en croix et représentation graphique de la proportionnalité

Dans la représentation graphique d'une situation de proportionnalité, tous les points sont alignés avec l'origine du repère. Exemple : Le périmètre p d'un carré est proportionnel à son côté c puisqu'on a p = 4c. Représente graphiquement le périmètre en fonction du côté. Si une situation est représentée par des points alignés avec l'origine du repère alors c'est une situation de proportionnalité. Exemple : Ces graphiques représentent-ils des situations de proportionnalité ? Justifie.

Dans un tableau de proportionnalité, lorsque l'on connaît trois valeurs de deux colonnes, on peut en déduire la quatrième valeur à l'aide du produit en croix. ? = (2 × 7, 14) ÷ 2, 04 = 7 Dans un produit en croix, la valeur manquante est appelée la quatrième proportionnelle. Plus généralement, le produit en croix est une relation que vérifie deux fractions égales.

3 _ Application 1 : La vitesse

Si un mobile parcourt une distance d en un temps t alors la vitesse moyenne v de ce mobile est le quotient de d par t : v = d/t. Exemple : Un cycliste a parcouru 2,6 km en 15 mn. Pour connaître sa vitesse moyenne en km/h, on divise la distance parcourue exprimée en kilomètres par la durée du parcours exprimée en heures. Sachant que 15 mn = 0,25 h, on obtient : v = 2,6/0.25 = 10,4 km/h L'unité de vitesse dépend des unités dans lesquelles sont exprimées la distance et la durée. Les unités courantes de vitesse sont le kilomètre par heure (km/h) et le mètre par seconde (m/s). Pour calculer une distance parcourue connaissant la vitesse et la durée, ou pour calculer une durée de parcours connaissant la vitesse et la distance, on utilise le produit en croix : d = vt et t =d/v.

Quand la vitesse est constante ou quand on travaille avec une vitesse moyenne, il y a proportionnalité entre la distance parcourue et la durée. Astuce : Comme il y a 1 000 mètres dans un kilomètre et 3600 secondes dans une heure, si une vitesse est donnée en kilomètres par heure et qu'on souhaite la convertir en mètres par seconde, on la multiplie par 1 000/3 600 ce qui revient à la diviser par 3,6. Réciproquement, si la vitesse est donnée en mètres par seconde et qu'on veut la convertir en kilomètres par heure, on la multiplie par 3,6. Exercice :

• Convertis 54 km/h en m/s et 2,5 m/s en km/h

4 _ Application 2 : Pourcentages

Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est égal à 100. Exemples :

• 6% = 6/100
• 7,6% = 7,6/100
• 39% = 39/100

Les pourcentages permettent de passer par proportionnalité d'une situation réelle à une situation standardisée. Ils sont ainsi utiles pour comparer des proportions. Exemple :

• 25 filles et 20 garçons de deux classes de 4e ont effectué un devoir commun. 60 % des filles et 50 % des garçons ont obtenu la moyenne.Calcule le pourcentage d'élèves qui ont obtenu la moyenne dans l'ensemble de ces deux classes.

Pour calculer t% d'un nombre, on multiplie ce nombre par t/100. Exemple : Une chemise coûte 82 €. Etienne obtient une remise de 10%.Il bénéficie donc d'une réduction de : 10% × 82 = 10/100× 82 = 0, 1 × 82 = 8, 2€ sur la chemise. Certains pourcentages sont à connaître :

• Prendre 10% d'un nombre revient à diviser ce nombre par 10.Exemple : 10% de 156 valent . 156 ÷ 10 = 15, 6
• Prendre 25% d'un nombre revient à diviser ce nombre par 4. Exemple : 25% de 240 valent . 240 ÷ 4 = 60
• Prendre 50% d'un nombre revient à diviser ce nombre par 2. Exemple : 50% de 10,2 valent . 10, 2 ÷ 2 = 5,

5 _ Application 3 : Les échelles

Si une représentation est à l'échelle 1/2 500, cela signifie que toutes les dimensions ont été divisées par 2 500.Inversement, 1 cm sur la représentation correspond à 2500 cm en réalité. On peut écrire l'échelle 1/2 500 également sous la forme 1 : 2 500. Il y a proportionnalité entre la distance réelle et la distance sur la carte. Dans un tableau de proportionnalité, l'échelle représente le coefficient de proportionnalité. Si l'échelle est 1/100 000, on peut utiliser le tableau suivant :

Statistiques

Partie 2 Chapitre 1

Exemple : La série statistique précédente peut être présentée par le tableau suivant : On présente souvent les résultats d'une étude statistique sous forme de tableau, dont la première ligne recense les différentes valeurs de la série, et la seconde ligne affiche l'effectif correspondant à chaque valeur. La série statistique précédente peut être présentée par le tableau suivant : La somme des effectifs d'une série statistique est égale à l'effectif total. On peut regrouper les valeurs de certaines séries statistiques en tranches de même écart. Ces tranches sont appelées des classes, et on peut alors calculer l'effectif de chaque classe.La série est alors donnée par classes de même amplitude. Exemple : On peut par exemple regrouper les employés d'une entreprise par classe de taille en cm.

1 _ Valeurs et effectifs

La population est l'ensemble des individus que l'on étudie. Le caractère représente une des caractéristiques de la population que l'on étudie. Le caractère peut prendre plusieurs valeurs (chiffrées ou non). Exemple : Dans l'ensemble des garçons d'une la classe on peut s'intéresser au sport choisi : c'est un caractère. Plusieurs valeurs sont possibles : foot, basket, tennis, volley. Une série statistique est la suite des valeurs que prend un caractère au sein d'une population. Exemple : Voici le sport choisi par les douze garçons d'une classe: tennis − tennis − basket − foot − basket − foot − volley − foot − foot − tennis − basket − volley. L'effectif d'une valeur d'une série statistique est le nombre d'apparitions de cette valeur dans la série.

2 _ Fréquences et moyennes

La moyenne d'une série statistique, souvent notée , se calcule en sommant toutes les valeurs puis en divisant par l'effectif total. On peut uniquement calculer la moyenne des séries statistiques dont les valeurs sont des nombres (et pas des sports, des couleurs, etc.). Pour calculer plus facilement une moyenne, on peut utiliser la formule de la moyenne pondérée :

• on multiplie chaque valeur par son effectif
• on calcule la somme de ces produits
• on divise enfin cette somme par l'effectif total.

Exemple : Ici, m = 10,8 Cette méthode de calcul de la moyenne est plus appropriée lorsque la série statistique est présentée sous forme de tableau. Pour calculer une moyenne on peut utiliser le mode statistique d'une calculatrice ou un tableur (logiciel Excel, par exemple).

La fréquence d'une valeur d'une série statistique est égale à : Une fréquence peut être donnée en fraction réduite ou en valeur décimale (seulement si la valeur est exacte ou si on demande une valeur arrondie). Une fréquence est toujours un nombre compris entre 0 et 1. En la multipliant par 100, une fréquence peut être exprimée en pourcentage. La somme de toutes les fréquences d'une série est égale à 1.

3 _ Représentations d'une série statistique

Pour représenter une série statistique, on peut tracer un diagramme en bâtons. La hauteur des bâtons est proportionnelle aux effectifs.A la place d'un diagramme en bâtons, on peut tracer un histogramme ou diagramme en barres, où les bâtons sont remplacés par des rectangles. Exemples : Diagramme en bâtons et en barre représentant la série statistique des garçons pratiquant du sport dans la classe.

Pour représenter une série statistique, on peut tracer un diagramme circulaire. L'angle des portions est proportionnel aux effectifs. Le diagramme circulaire suivant représente la série statistique des garçons pratiquant du sport dans la classe. Pour obtenir la mesure de l'angle, on multiplie la fréquence de la valeur par 360.

Les histogrammes sont en général adaptés aux séries réparties en classes.

TRAVAUX GEOMETRIQUES

Partie 3

Pyramides et cônes

Triangle rectangle

Triangles et parallèles

Chapitres

Cosinus

Distances et tangentes

Triangle Rectangle

Partie 3 Chapitre 1

1 _ Le théorème de Pythagore

La réciproque de ce théorème est :Si le carée de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrées des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle et admet ce plus grand côté comme hypothénuse. Exemple :Si dans un triangle ABC, AC² + AB² = BC² l'égalité est vérifiée (avec [BC] le plus grand côté), alors le triangle ABC est rectangle en A et [BC] est l'hypoténuse. La propriété réciproque est la propriété de caractérisation d'un triangle rectangle. Exemple :

• NEZ est un triangle tel que NE = 75 cm ; EZ = 45 cm et NZ = 60 cm.Démontre que ce triangle est rectangle.

D'après le théorème de Pythagore, si un triagle est rectangle alors le carrée de la longueur de l'hypothénuse est égal à la somme des carrées des deux autres côtés. Exemple : Soit ABC est un triangle rectangle en C, on a alors : AC² + BC² = AB² Exercices :

• Soit RAS le triangle rectangle en A tel qu'on a RS = 9,7 cm et RA = 7,2 cm. Calcule AS.
• NUL est un triangle tel que NU = 42 cm, LU = 46 cm et LN = 62 cm.NUL est-il un triangle rectangle?

2 _ Le cercle circonscrit au triangle rectangle

Le cercle de diamètre [AB] est l'ensemble des points M du plan tels que AMB est rectangle en M Si ABC est un triangle rectangle en A, alors la longueur de sa médiane issue du sommet A est égale à la moitié de son hypoténuse (rayon du cercle circonscrit). Réciproquement, si la médiane issue du sommet A du triangle ABC est égale à la moitié de la longueur du côté opposé, alors le triangle ABC est rectangle en A

Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour centre le milieu de l'hypoténuse et pour diamètre l'hypoténuse. Réciproquement, si l'un des côtés d'un triangle est le diamètre d'un cercle et que son troisième sommet est sur ce même cercle, alors le triangle est rectangle.

Triangles et Parrallèles

Partie 3 Chapitre 2

1 _ Théorèmes des milieux et de Thalès

Si, dans un triangle, une droite passe par les milieuxde deux côtés du triangle alors elle est parallèleau troisième côté. Exercice :

• Soit la figure codée ci-dessous. Démontre que la droite (MN) est parallèle à la droite (OL).

Si, dans un triangle, un segment joint les milieuxde deux côtés alors sa longueur est égale à la moitiéde celle du troisième côté. Exercice :

• On donne la figure codée ci-dessous. Calcule la longueur JK.

Si, dans un triangle, une droite passe par le milieud'un côté et est parallèleà un deuxième côté alors elle passe par le milieudu troisième côté. Exemple :

• Soit TOR un triangle tel que M soit le milieu du côté [RO]. La parallèle à (TR) passant par M coupe le côté [OT] en N.Démontre que N est le milieu du côté [OT].