Cuerpos geométricos

CUERPOS GEOMÉTRICOS: CARACTERÍSTICAS Y DESARROLLOS PLANOS

Alumno: MCarmen Rodríguez Sánchez Tutores: José Diz Pérez Manuel Jurado Bello Especialidad de Matemáticas Curso 2015/2016

Función docente

- Competencias en el conocimiento genérico y especializado sobre el área de conocimiento y el ámbito de especialización del profesor, incluyendo los métodos y aplicaciones de la disciplina. - Competencias relacionadas con la evaluación de los aprendizajes, que incluyen conocer los criterios e instrumentos adecuados para llevar a cabo esta tarea. - Competencias sobre el conocimiento de la normativa y la organización institucional del sistema educativo en todos sus niveles. - Competencias de relación interpersonal, como una comunicación eficaz y ágil que permita gestionar el aula y orientar al alumnado. - Competencias como la de planificación, que junto con la capacidad crítica y de trabajo en grupo, permiten organizar y formular los procesos de enseñanza-aprendizaje que funcionen en cada situación. - Competencia de analizar didácticamente los contenidos curriculares de cada nivel y encontrar el mejor modo de abordarlos para su comprensión. - Competencias de gestionar el trabajo en el aula y organizar los grupos, haciendo una selección y secuenciación de tareas apropiadas. - Competencia para comprender aquellos procesos individuales o grupales que favorezcan el aprendizaje y mejorarlos. - Competencia para la tutoría de los alumnos, ayudándolos con cualquier tipo de problema que se les presente y orientándolos en su formación y desarrollo.

Programación

Objetivos Se tendrán en cuenta los objetivos generales de la materia de Matemáticas en ESO, reflejados en el artículo 3 del RD 1631/2006 y también los recogidos en el artículo 4 del Decreto 231/2007 para formular los objetivos que vamos a tener presentes en la programación de Matemáticas de este curso de 2º de ESO.

Competencias matemáticas Las competencias básicas que se identifican en el RD 1631/2006 son ocho, en la programación del curso se pretende la adquisición de cada una de ellas: - Competencia en comunicación lingüística - Competencia matemática - Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico - Tratamiento de la información y competencia digital - Competencia social y ciudadana - Competencia cultural y artística - Competencia para aprender a aprender - Autonomía e iniciativa personal

Contenidos Para redactar los contenidos de esta programación se tendrán en cuenta tanto los dispuestos en el Real Decreto 1634/2006, de 29 de diciembre, por el que se establen las enseñanzas mínimas correspondinetes a la Educación Secundaria Obligatoria (2007) para el curso de 2º de ESO en la materia de Matemáticas, como los contenidos relevante dispuestos en los núcleos temáticos de esta materia que presenta la Orden de 10 de agosto de 2007, por la que se desarrolla el currículo correspondiente a la Educación Secundaria Obligatoria en Andalucía (2007) para esta etapa, y considerando los tres tipos de contenidos, conceptuales, procedimentales y actitudinales.

Secuenciación

- Estadística y probabilidad. Con los conocimientos adquiridos en el bloque de 'números' de 1º ESO basta para seguir la unidad de 'estadística' en este nivel. - Números. Se necesitan conocer los 'números enteros' para entender las 'potencias y fracciones' y éstas a su vez para comprender la 'proporcionalidad y porcentajes'. - Álgebra. Se tienen que entender los números y sus propiedades, dentro de éste como aproximación al álgebra es necesario conocer 'expresiones algebraicas' y el modo de trasladar información del lenguaje cotidiano al matemático, para seguidamente saber trabajar con 'ecuaciones de primer grado'. - Funciones y gráficas. Hace falta conocer los conceptos de los dos bloques anteriores. Se sitúa a mediados del curso porque es un tema complicado de asimilar para los alumnos. - Geometría. En este bloque parece razonable ver antes el tema de 'semejanzas y teoremas' que el de 'cuerpos geométricos', de los cuales primero se estudian sus 'características y desarrollos' y luego sus 'dimensiones y superficies'.

Metodología

- Plantear demostraciones matemáticas de propiedades o teoremas, y complementarlas con resolución de problemas contextualizados para que el alumno afiance sus conocimientos y sea capaz de resolver planteamientos similares sin necesidad de conocer de memoria las fórmulas implicadas en el proceso. - Fomentar la competencia lectora a lo largo de cada Unidad con lecturas sobre la historia de las matemáticas, que además proporcionan una consciencia sólida pero cuestionable de las mismas. - La selección de tareas será contextualizada y variada, llegando a tratar todos los niveles cognitivos del alumno y favoreciendo su pensamiento racional y crítico. Se integrarán referencias a la vida cotidiana y al entorno del alumno para que entiendan las matemáticas como parte del desarrollo de la sociedad. - La resolución de los problemas matemáticos formulados en el aula no tendrá una respuesta única y cerrada, permitiendo la organización del pensamiento y la creatividad del alumnado con la elaboración de hipótesis y un proceso de investigación que lleve a las posibles soluciones. - La selección de recursos y materiales adecuados propicia que el alumno presente una actitud positiva y participativa ante las matemáticas. Se llevará a cabo con la incorporación de elementos tecnológicos: Wiris durante el bloque de 'funciones y gráficas', Geogebra para todas las unidades y especialmente en el bloque de 'geometría' y la hoja de Cálculo en el bloque de 'estadística'. Además se utilizarán otros recursos como actividades interactivas; el libro de texto y otros libros; calculadoras; materiales manipulables para experimentar; o incluso periódicos. - Las actividades propuestas en el aula y fuera de ella abarcarán tanto el trabajo individual como el trabajo cooperativo del alumnado.

Evaluación

Se considerará para la evaluación de los alumnos diferentes instrumentos entre los que se encuentran: - Pruebas escritas realizadas de cada Unidad (70%, siendo la nota mínima un 4 sobre 10) en las que contará el razonamiento, utilización de varios métodos de resolución, ejecución de procedimientos, comprobación de los resultados y limpieza. - El cuaderno de clase (5%) que será revisado en el aula y se valorará la realización de las tareas, anotaciones de los procedimientos, corrección de errores y limpieza. - Las actividades individuales o grupales (15%) realizadas en el aula o fuera de ella en las que computará la creatividad, iniciativa, cooperación y comunicación; estos trabajos pueden estar relacionados tanto con la historia de las matemáticas como con los recursos empleados en el aula. - La actitud y comportamiento (10%) en los que se valorará la participación, motivación, interés por la materia, iniciativa, respeto a los compañeros y comportamiento en general. Para aplicar la evaluación sumativa como mínimo se debe tener la mitad de la puntuación en cada una de las tres últimas secciones.

Unidad Didáctica

En la página 754 del BOE de 5/1/2007, donde se desarrolla el Real Decreto 1631/2006, de 29 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas correspondientes a la Educación Secundaria Obligatoria (2007); puede verse que para el bloque de Geometría de esta materia se indican los siguientes contenidos relacionados con la Unidad Didáctica a desarrollar: - Poliedros y cuerpos de revolución. Desarrollos planos y elementos característicos. Clasificación atendiendo a distintos criterios. Utilización de propiedades, regularidades y relaciones para resolver problemas del mundo físico. - Utilización de procedimientos tales como la composición, descomposición, intersección, truncamiento, dualidad, movimiento, deformación o desarrollo de poliedros para analizarlos u obtener otros. En la página 55 del BOJA de 30/8/2007, donde se encuentra la ORDEN de 10 de agosto de 2007, por la que se desarrolla el currículo correspondiente a la Educación Secundaria Obligatoria en Andalucía (2007); se pueden destacar los siguientes criterios de valoración de los aprendizajes, que inciden más directamente en los contenidos de la Unidad Didáctica: La evaluación debe evitar planteamientos memorísticos. Es conveniente fomentar y valorar los procesos de investigación y deducción realizados para determinar las características y propiedades de las distintas formas planas y espaciales, a la vez que se valoran los procesos seguidos en el análisis, planteamiento y resolución de las situaciones y problemas de la vida cotidiana.

Objetivos

OB1. Identificar que es un poliedro, determinar elementos y características y conocer su clasificación. OB2. Distinguir los poliedros regulares convexos también denominados sólidos platónicos y conocer y aplicar correctamente la fórmula de Euler. OB3. Diferenciar y catalogar algunos cuerpos redondos y conocer sus elementos y características. OB4. Construir cuerpos geométricos a partir de su desarrollo plano y reconocer el desarrollo plano de cualquier cuerpo geométrico. OB5. Razonar sobre conceptos geométricos que permitan la observación, construcción y modificación de formas geométricas de distinto tipo. OB6. Reconocer las formas y relaciones espaciales que existen en el entorno y en la historia, examinar las relaciones y propiedades geométricas presentes y mostrar sensibilidad ante su belleza que a su vez activan la imaginación y la creatividad. OB7. Emplear adecuadamente los diferentes recursos, como son materiales físicos, software específico u ordenadores, para construir y conocer las propiedades geométricas y como apoyo en el aprendizaje. OB8. Actuar ante los problemas de la vida cotidiana siguiendo los principios de las matemáticas, como el rigor en el lenguaje, la aceptación de otros puntos de vista, la exploración continua de distintas alternativas y la constancia en buscar soluciones.

Contenidos

C1. Poliedros (cara, arista y vértice), cuerpos redondos (base, superficie lateral curva, eje de rotación y generatriz), ángulos diedros, poliedros cóncavos y convexos, fórmula de Euler, cuerpos de revolución (cilindros, conos y esferas), poliedros regulares (cubo, tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro), prismas y pirámides (irregular, regular, recto y oblicuo), poliedro truncado. (c) C2. Reconocer los distintos elementos que forman los poliedros y cuerpos redondos, describiendo las cualidades que los hacen diferentes. (p) C3. Clasificar e identificar los cuerpos geométricos atendiendo a distintos criterios y propiedades. (p) C4. Obtener el desarrollo plano en papel de un cuerpo geométrico u obtener un cuerpo geométrico en algún tipo de material físico a partir de su desarrollo plano. (p) C5. Resolver problemas apoyándose en el conocimiento de las propiedades de los cuerpos geométricos y razonar sobre ellas. (p) C6. Cálculo de ángulos diedros y, a partir de ahí, clasificación en poliedros cóncavos o convexos. (p) C7. Determinar los datos que se necesitan para la aplicación de la relación de Euler. (p) C8. Utilizar herramientas tecnológicas para facilitar la comprensión de las propiedades geométricas. (p) C9. Utilización de procedimientos tales como la composición, descomposición, intersección, truncamiento, dualidad, movimiento, deformación o desarrollo de poliedros para analizarlos u obtener otros. (p) C10.Reconocer los elementos geométricos estudiados que están presentes tanto en nuestro entorno como a lo largo de la historia, en el arte y la arquitectura. (p) C11.Reconocimiento y valoración de la geometría como instrumento fundamental para expresar y comprender situaciones del entorno físico del arte o la ciencia. (a) C12.Interés por la descripción verbal y escrita con precisión de formas y características geométricas. (a) C13.Perseverancia y flexibilidad para enfrentarse a soluciones y problemas geométricos desde distintos puntos de vista. (a) C14.Sensibilidad y gusto por la realización sistemática y presentación cuidadosa y ordenada de trabajos geométricos. (a)

Recursos

- Figuras geométricas manipulables, de madera o plástico, que se usarán en diferentes sesiones para que los alumnos puedan ver y manipular los distintos tipos de cuerpos geométricos que estudiarán. - Geogebra, se usará en el estudio de algunos cuerpos geométricos más complejos para que los alumnos manipulen la figura y estudien sus elementos desde todos los puntos de vista. - Actividad utilizando la historia de las matemáticas, redactada por el profesor, donde se estudiarán los poliedros de Kepler-Poinsot y los alumnos realizarán una serie de tareas. - Fotocopias de los desarrollos planos de algunos cuerpos geométricos, en papel o cartulina, que posteriormente los alumnos transformarán en elementos3D, para la tarea de historia de las matemáticas. - Actividad de la Lección de TEDEd, realizada por el profesor, donde los alumnos pueden ver un vídeo que desarrolla conceptos de la unidad y realizar una serie de cuestiones para afianzar conocimientos, se realizará en la penúltima sesión como repaso de la materia estudiada (en el siguiente punto del trabajo se mostrará alguna imagen, en el desarrollo de la 8ª sesión)

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Sesiones

- Sesión 1. Objetivos de la unidad. Explicación de la actividad 'Historia de las Matemáticas'. Poliedros regulares I. - Sesión 2. Poliedros regulares II. Características y desarrollos planos. - Sesión 3. Prismas y pirámides. Características y desarrollos planos. - Sesión 4. Fórmula de Euler. - Sesión 5. Cuerpos geométricos truncados (Geogebra). - Sesión 6. Cilindros y conos. Características y desarrollos planos. - Sesión 7. Esfera. Actividad global de búsqueda de cuerpos geométricos en imágenes. - Sesión 8. Dudas. Lección de TedEd. Puesta en común de las figuras construidas por los alumnos en la actividad 'Historia de las Matemáticas'. - Sesión 9. Prueba escrita.

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Sesión 1 - 2

Relación actividades para las sesiones 1-2 1) ¿Qué significa literalmente la palabra 'poliedro'? 2) ¿Cuál es la característica principal de los poliedros regulares?

4) Relaciona cada uno de los siguientes desarrollos planos con su correspondiente poliedro regular del apartado anterior.

3) Identifica en cada uno de los siguientes poliedros regulares todas sus caras, aristas y vértices. Indica el número de cada uno de esos elementos en cada caso y señala las características propias de cada una de estas figuras.

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Sesión 1 - 2

Relación actividades para las sesiones 1-2 5) ¿Qué tipos de polígonos pueden ser caras de un poliedro regular? 6) En cada uno de los cinco poliedros regulares vistos, ¿cuál es el número de caras que llegan por vértice? 7) Un poliedro tiene 30 aristas y 12 vértices, ¿cuántas caras tiene? ¿De qué figura se trata? 8) Un poliedro tiene 8 caras y 6 vértices, ¿cuántas aristas tiene? ¿De qué figura se trata? 9) Haz una lista de objetos que puedes encontrar a tu alrededor con forma de poliedro regular. 10) ¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene la siguiente figura? ¿Cuál es la diferencia entre este poliedro regular y los estudiados anteriormente?

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Sesión 3

Relación actividades para la sesión 3 1) Define los elementos comunes de prismas y pirámides. ¿En qué se diferencian estos dos cuerpos geométricos? 2) ¿En función de que elemento reciben los diferentes nombres en los que se clasifican los prismas y las pirámides? Pon tres ejemplos de cada grupo. 3) Dibuja de forma esquemática los desarrollos planos de los siguientes cuerpos geométricos:

4) ¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene cada una de las figuras del apartado anterior? 5) ¿Cuál es la principal característica de las pirámides irregulares? ¿Y de los prismas oblicuos? Representa esquemáticamente una imagen 3D de cada tipo. 6) Construye la figura geométrica a la que le corresponde el siguiente desarrollo plano: 7) Si un prisma tiene 24 aristas, ¿qué polígono forma su base? 8) Si una pirámide tiene 9 vértices, ¿qué polígono forma su base? 9) Si una pirámide tiene 12 aristas, ¿qué polígono forma su base? 10) Haz una lista de objetos que puedes encontrar a tu alrededor con forma de prisma o pirámide.

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Sesión 4

Relación actividades para la sesión 4 1) ¿Qué elementos intervienen en la Fórmula de Euler? 2) Enuncia la Fórmula de Euler. 3) A partir de los poliedros dados a continuación, completa la siguiente tabla:

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Sesión 5

Relación actividades para la sesión 5 1) ¿Cómo se generan los poliedros truncados? 2) Dibuja esquemáticamente el proceso para obtener un tetraedro truncado. 3) ¿Qué significa que un poliedro sea dual de otro? Pon dos ejemplos de poliedros duales. 4) ¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene la figura del apartado 2? ¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene una pirámide cuadrangular truncada y una pirámide octogonal truncada? 5) Haz una lista de objetos que tienes a tu alrededor con forma de poliedros truncados. 6) ¿Qué cuerpo geométrico corresponde a este desarrollo plano? ¿Cuáles son sus características? Construye dicha figura geométrica.

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Sesión 6

Relación actividades para la sesión 6 1) ¿Por qué se llaman cuerpos de revolución? ¿Qué elementos los forman? 2) ¿Cómo se obtiene un cilindro? ¿Dónde está situada la generatriz de un cilindro? 3) Describe las propiedades de un cilindro. 4) ¿Qué cuerpo de revolución se obtiene al girar un rectángulo sobre su lado mayor? 5) Dibuja esquemáticamente el desarrollo plano de un cilindro. 6) ¿Cómo se genera un cono? ¿Cuáles son sus propiedades? 7) ¿Cuáles son las diferencias entre cilindros y conos? 8) ¿Qué figura plana es el desarrollo de la cara lateral de un cono? 9) Dibuja esquemáticamente un cilindro y un cono oblicuos. 10) ¿Qué cuerpo geométrico corresponde a este desarrollo plano? ¿Cuáles son sus características? Construye dicha figura geométrica. 11) Haz una lista de objetos que puedes encontrar a tu alrededor con forma de cilindro o cono.

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Sesión 7

Relación actividades para la sesión 7 1) Señala los elementos que componen la esfera e indica las características de este cuerpo redondo. 2) ¿Por qué la esfera es un cuerpo de revolución? 3) ¿Cuál es la gran diferencia entre éste y los demás cuerpos de revolución estudiados, el cilindro y el cono? 4) ¿Qué figura plana se obtiene al cortar una esfera por un plano que pase por su centro? ¿Y si dicho plano no pasa por el centro? 5) Haz una lista de objetos que puedes encontrar a tu alrededor con forma de esfera. 6) Indica cuáles de las siguientes figuras son cuerpos de revolución y dibuja la figura plana que los genera.

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Sesión 8

- Primera parte (10-15 minutos aprox.) para que los alumnos planteen todas las dudas que tengan de cualquier concepto o procedimiento que se haya estudiado durante el desarrollo de la misma. - Segunda parte (20 minutos) se dedicará a la realización de la actividad de la Lección de TEDEd, con la visión del vídeo realizado por el profesor de una duración de 6 minutos y la posterior realización de las preguntas diseñadas como repaso de la Unidad. - Última parte (25-30 minutos) se dedicarán a la revisión de las figuras que los alumnos deben construir en la actividad relacionada con la historia de las Matemáticas en esta Unidad. Los alumnos pondrán en común las figuras geométricas que cada uno de los grupos ha construido con las instrucciones que se daban en el enunciado de dicha actividad y explicarán a sus compañeros las características que han encontrado en ellas para que posteriormente puedan terminar las actividades propuestas en esta tarea, que será entregada el día fijado para ello.

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Sesión 9

Programación

Objetivos Se tendrán en cuenta los objetivos generales de la materia de Matemáticas en ESO, reflejados en el artículo 3 del RD 1631/2006 y también los recogidos en el artículo 4 del Decreto 231/2007 para formular los objetivos que vamos a tener presentes en la programación de Matemáticas de este curso de 2º de ESO.

Competencias matemáticas Las competencias básicas que se identifican en el RD 1631/2006 son ocho, en la programación del curso se pretende la adquisición de cada una de ellas: - Competencia en comunicación lingüística - Competencia matemática - Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico - Tratamiento de la información y competencia digital - Competencia social y ciudadana - Competencia cultural y artística - Competencia para aprender a aprender - Autonomía e iniciativa personal

Contenidos Para redactar los contenidos de esta programación se tendrán en cuenta tanto los dispuestos en el Real Decreto 1634/2006, de 29 de diciembre, por el que se establen las enseñanzas mínimas correspondinetes a la Educación Secundaria Obligatoria (2007) para el curso de 2º de ESO en la materia de Matemáticas, como los contenidos relevante dispuestos en los núcleos temáticos de esta materia que presenta la Orden de 10 de agosto de 2007, por la que se desarrolla el currículo correspondiente a la Educación Secundaria Obligatoria en Andalucía (2007) para esta etapa, y considerando los tres tipos de contenidos, conceptuales, procedimentales y actitudinales.