Trigonométrie 1ère S

Trigonomérie

1 _ Le cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est un cercle de centre O de rayon 1.Il est orienté positivement (ou drectement) dans le sens opposé des aiguilles d'une montre. L'origine du cercle trigonométrique est le point I. On va considérer l'angle θ et déterminer grâce à ce cercle son cosinus noté cos(θ) et son sinus noté sin(θ).

2 _ Le radian

Jusqu'ici on mesurait les angles en degré (symbole ° ), mais en trigonométrie l'unité de mesur des angles est le radian (sans symbole). Mais à quoi correspond cette unité? On peut construire une "règle" tangente au cercle trigonométrique. Cette règle infinie va de -∞ à +∞ et son origine coïncide avec l'origine du cercle. En enroulant cette droite autour du cercle trigonométrique, le point du cercle où s'applique le nombre 1 détermine l'angle mesurant 1 radian. π radians = 180 degrés Le cercle faisant 360° soit 2π rad, les point x et (x+2kπ) de la "règle" sont confondus. (x∈ℝ k∈ℤ)

3 _ Cosinus, sinus et tangente (partie 1)

Le cercle trigonométrique permet par lecture graphique de déterminer le cosinu et le sinus d'un angle. Ici, pour déterminer le cosinus de l'angle α, on va lire l'abscisse de M, pour son sinus on va lire son ordonnée. La tangente se lit plus difficilement en traçant la demi droite [OM) et en regardat son intersection avec la "règle". On a aussi la relation : tan(α)=sin(α)/cos(α)

3 _ Cosinus, sinus et tangente (partie 2)

Il y a des angles remarquables : Quelques propriétés à retenir :

• -1 ≤ cos (x) ≤ 1 et -1 ≤ sin (x) ≤ 1
• cos (x) = cos (x + 2kπ) et sin (x) = sin (x + 2kπ) (x∈ℝ k∈ℤ)
• cos²(x) + sin²(x)= 1

4 _ Mesures d'un angle orienté

On a le repère (O,I,J) orthonormé direct.La mesure de l'angle orienté (u ,v) est un réel. Mais attention, il faut le lire dans le bon sens. Il existe une infinité de mesure d'angle orienté. Avec l'exemple précédent, (OA,OB) = t' - t + 2kπ. La mesure pricipale de l'angle orienté est celle comprise dans l'inervalle ]-π;π[.

Si u et v sont colinéaire : - De même sens, alors (u,v) = 0 - De sens contraire, alors (u,v) = π La relation de Chasles : (u, v) + (v, w) = (u, w) + 2kπ

Propriétés (déduites de Chasles ) :

• (u, v) = - (v, u)
• (u, -v) = (u, v) + π
• (-u, v) = (u, v) + π
• (-u, -v) = (u, v)

Notons que la mesur d'un angle orienté ne varie pas si on remplace un vecteur par un vecteur colinéaire de même sens.

5 _ Sinus et cosinus d'angles associés

Il faut savoir retrouver ces formules à partir du cercle trigonométrique :

On dit que des angles orientés sont associés s'ils admettent des cosinus ou des sinus égaux ou opposés

Des formules d'addition et de duplication permettent de déterminer les valeurs exactes des cosinus et sinus de réels ou d'angles orientés à partir de valeurs remarquables déjà connues:Addition : Duplication :

6 _ Equation trigonométriques

L'équation sin(x) = sin(a) admet pour solutions:

L'équation cos(x) = cos(a) admet pour solutions:

• x = a [2π]
• x = π - a [2π]

• x = a [2π]
• x = -a [2π]

Cours terminé !

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