Selección de problemas

LOS BUEYES Un campesino tiene bueyes que comen la misma cantidad de pienso todos los días. Si vendiese 15 bueyes, el pienso le duraría 3 días más y si comprase 25 bueyes, el pienso le duraría 3 días menos. Halla el número de bueyes y el número de días que puede alimentarlos. Solución: Observa que si x es el número de bueyes e y el número de días que puede alimentarlos, xy es la cantidad de raciones de pienso que tiene el campesino. xy = (x – 15) (y + 3) xy = (x + 25) (y – 3) xy = xy + 3x – 15y – 45 xy = xy – 3x + 25y – 75 3x – 15y = 45 –3x + 25y = 75 10y = 120 ⇒ y = 12; x = 75 Tiene 75 bueyes, que puede alimentar durante 12 días.

Un hombre que tenía 10 manzanas y otro que tenía 30 fueron juntos a un mercado para venderlas. Las pusieron a la venta al mismo precio. Luego fueron a otro mercado e hicieron lo mismo. Si al acabar el día los dos habían obtenido la misma suma de dinero, ¿cuál era el precio de las manzanas en cada mercado? ¿Cuántas manzanas vendió cada uno en cada mercado? Primer mercado: el primer hombre vende x manzanas de 10, y el segundo, y manzanas de 30, a un precio, ambos, de p1 unidades monetarias por manzana. Segundo mercado: el primer hombre vende 10-x manzanas, y el segundo 30-y, a un precio, ambos, de p2 unidades monetarias por manzana. Como los dos hombres regresan con la misma cantidad de dinero, ha de cumplirse que: x.p1 + (10-x).p2 = y.p1 + (30-y).p2 (y-x-20).p2 = (y-x).p1 p2 = [1+ 20/(y-x-20)].p1 Es evidente que: 21 <= y-x <= 29, 1 <= x <= 10 y 1 <= y <= 30. Por ejemplo, si x=1 e y=22, resulta: p2=21.p1 y, en consecuencia, 1.p1+9.21.p1 = 22.p1+8.21.p1=190.p1

Dos hombres tienen la intención de hacer un largo viaje. Uno de ellos caminará 20 millas diarias. El otro hará una milla el primer día, 2 el segundo, 3 el tercero y así sucesivamente añadiendo siempre una milla a lo recorrido el día anterior. ¿Cuántos días tardará el segundo viajero en alcanzar al primero? Si llamamos x al número de días que tarda en alcanzar un viajero al otro, entonces el primer viajero recorrerá 20.x millas, mientras que el segundo recorrerá 1 + 2 + 3 + 4 + …. + x = x.(x+1) / 2 millas. Igualando ahora las distancias recorridas por ambos viajeros, obtenemos la ecuación: 20x = x.(x+1) / 2 cuyas soluciones son x = 0 (que corresponde al momento inicial o de partida) y x = 39 (que es la solución de nuestro problema).

Se tiene un rectángulo formado por la unión de 9 cuadrados no superpuestos, tal como se puede ver en la siguiente figura. Si el cuadrado más pequeño, de color negro, tiene 2 metros de lado, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo grande? Llamando a y b a los lados de los cuadrados centrales de color blanco, mayor y menor, respectivamente, obtenemos los lados de los cuadrados periféricos. Empezando por la esquina superior izquierda y girando en el sentido de las agujas del reloj: a+4, a+6, a+b+6, a+2b+6, 2a+2 y a+2. Teniendo en cuenta que en un rectángulo los lados opuestos tienen la misma longitud: (a+4)+(a+6)+(a+b+6)=(2a+2)+(a+2b+6) (a+4)+(a+2)+(2a+2)=(a+b+6)+(a+2b+6) De aquí, a=14 m y b=8 m. Por tanto, las dimensiones del rectángulo dado son 66 metros de ancho y 64 metros de alto.

UN NÚMERO DE CINCO DÍGITOS ¿Cuál es el número de cinco dígitos al que si le pones un 1 detrás vale tres veces más que si se lo pones delante? Solución: Se pide un número del tipo abcde. Se dice que abcde1=3*(1abcde), es decir, 100000a+10000b+1000c+100d+10e+1= =3*(100000+10000a+1000b+100c+10d+e). De aquí, 70000a+7000b+700c+70d+7e=299999. Sacando factor común, resulta: 7(10000a+1000b+100c+10d+e)=299999, o, lo que es lo mismo, 7*(abcde)=299999. Por tanto, el número que se pide es abcde=299999/7 = 42857.

En una clase de bachillerato, 22 estudiantes aprueban Lengua, 24 Matemáticas y 20 Biología. Si los que aprueban al menos una asignatura son 35 y los que aprueban solamente una asignatura son 5, ¿cuántos aprueban las tres asignaturas? Indicación: Los círculos representan las tres asignaturas. Se trata de averiguar cuántos alumnos hay en la zona amarilla. Sabemos que a+b+c+p+q+r+s=35 y que a+b+c=5 (1). Por tanto, p+q+r+s=30 (2). Por otro lado, a+p+r+s=22, b+p+q+s=24 y c+q+r+s=20. Sumando, miembro a miembro, las tres igualdades, resulta: a+b+c+2p+2q+2r+3s=66 o (a+b+c)+(p+q+r+s)+(p+q+r+s)+s=66 (3). Teniendo en cuenta (1) y (2), la igualdad (3) se convierte en 5+30+30+s=66. En consecuencia, s=1; es decir, solamente un alumno aprueba las tres asignaturas.

¿Qué número debe ir en la fila F y qué nos indica cada columna sombreada? En la fila F debe ir el número 3728. La 1ª columna sombreada indica el número de cifras acertadas que no están en la posición que les corresponde; la 2ª columna sombreada indica el número de cifras acertadas que sí están en la posición que les corresponde.

Sean tres circunferencias tangentes entre sí y a una recta, tal como muestra la figura. Hallar el radio de la circunferencia más pequeña, conocidos los radios de las otras dos. Sean r, s y t los radios de las tres circunferencias, de mayor a menor tamaño. Aplicando el teorema de Pitágoras... i) al triángulo ABE, tenemos que BE = r+s2-r-s2= 2.r.s. ii) al triángulo ACF, tenemos que CF = r+t2-r-t2 = 2.r.t. iii) al triángulo EDF, tenemos que FD = s+t2-s-t2 = 2. s.t. Como BE = CF + FD, 2.r.s= 2. r.t + 2. s.t . Dividiendo todos los términos por 2.r.s.t, resulta: 1/t= 1/s + 1/r

Veinte panes para veinte personas Repartimos veinte panes entre veinte personas. Los niños reciben medio pan, las mujeres dos y los hombres tres. ¿Cuántos hombres, niños y mujeres hay? Solución: Sea x el número de hombres, y el número de mujeres y z el número de niños. Se tiene: 3x+2y+(½) z=20 x+y+z=20 Despejando x e y en función de z, se obtiene: x=(3/2)z-20 y=40-(5/2)z Condiciones:

1. Por ser x e y naturales, z, que también es natural, debe ser par, pues está multiplicada por 3/2.
2. Por ser x ≥ 0, -20 + (3/2)z ≥ 0, de donde z ≥ 40/3; es decir, z ≥ 14.
3. Por ser y ≥ 0, 40 - (5/2)z ≥ 0, de donde z ≤ 80/5; es decir, z ≤ 16.

Si z es par, z ≥ 14 y z ≤ 16, z solo puede tomar los valores 14 y 16, lo que da las dos posibilidades siguientes: A)

• hombres = x = 1
• mujeres = y = 5
• niños = z = 14

B)

• hombres = x = 4
• mujeres = y = 0
• niños = z = 16

Fiesta del Club de Pijos Divertidos Sosos Total Melenudos 30 60 90 Pelados 1 9 10 Total 31 69 100 Probabilidad (Divertido/Melenudo) = 30/90 = 0’333... Probabilidad (Divertido/Pelado) =1/10 = 0’1 Por tanto: Prob. (Div./Mel.) > Prob. (Div./Pel.) Fiesta del Club de Macarras Divertidos Sosos Total Melenudos 32 28 60 Pelados 20 20 40 Total 52 48 100 Probabilidad (Divertido/Melenudo) = 32/60 = 0’533... Probabilidad (Divertido/Pelado) = 20/40 = 0’5 Por tanto: Prob. (Div./Mel.) > Prob. (Div./Pel.) Fiesta conjunta Divertidos Sosos Total Melenudos 62 88 150 Pelados 21 29 50 Total 83 117 200 Probabilidad (Divertido/Melenudo) = 62/150 = 0’4133... Probabilidad (Divertido/Pelado) = 21/50 = 0’42 Sin embargo: Prob. (Div./Mel.) < Prob. (Div./Pel.)